数学ナビゲーター掲示板 [One Topic All View / Re[2]: 入試問題 / Page: 0]

数学ナビゲーター掲示板
(現在過去ログ4 を表示中)

[ 最新記事及び返信フォームをトピックトップへ ]

■34136 / inTopicNo.1)

　入試問題

□投稿者/ ようすけ一般人(6回)-(2008/07/07(Mon) 00:29:16)

正の整数ｎに対して、正の整数ｆ(ｎ)が次の1、2を満たすように定義されている。

1、任意の正の整数ｍ、ｎに対して、ｍ＜ｎならばｆ(ｍ)＜ｆ(ｎ)
2、任意の正の整数ｎに対してｆ(ｆ(ｎ))=3ｎのとき次の設問に答えよ。

(1)ｆ(1)、ｆ(ｆ(1))、ｆ(ｆ(ｆ(1)))を求めよ
(2)ｆ(4)を求めよ
(3)ｆ(2007)を求めよ

手が出ませんでした。おねがいします。

(携帯)

引用返信/返信 [メール受信/OFF] 削除キー/

■34137 / inTopicNo.2)

　Re[1]: 入試問題

▲▼■

□投稿者/ kei 一般人(19回)-(2008/07/07(Mon) 01:20:13)

f(1)=1なら、f(f(1))=1となるので、f(1)＞1
よって、f(2)＞2,f(3)＞3,…,f(n)＞n (nは正整数)が帰納的に分かるので、f(α)=3なら、α=2しかありえません。(α=1だとf(1)=3,f(3)=3となって矛盾)
よって、f(1)=2
ゆえにf(f(1))=3×1=3
f(f(f(1)))=f(f(2))=3×2=6
さて、ここでf(6)=f(f(3))=3×3=9なので、f(4)≦7
f(3)=6よりf(4)＞6でもあるのでf(4)=7と決まります。

最後の問題はあまりいい方法が思いつきませんが、
f(223)が求まれば、
f(f(223))=3・223,f(3・223)=f(f(f(223)))=3f(223)
f(f(3・223))=3^2・223=2007
f(2007)=3f(3・223)=9f(223)よりf(2007)も求まりますね。
後はガッツがあればできます(f(223)が求められます)。
頑張ってください。

引用返信/返信 [メール受信/OFF] 削除キー/

■34138 / inTopicNo.3)

　Re[2]: 入試問題

▲▼■

□投稿者/ kei 一般人(20回)-(2008/07/07(Mon) 02:11:36)

2008/07/07(Mon) 02:12:50 編集(投稿者)
2008/07/07(Mon) 02:12:48 編集(投稿者)

ちなみにf(142)=223となるので、f(223)=3×142=426ですね。
よって、f(2007)=3834です(計算ミスがなければ)。

一度表で、数字が(ｆによって)どう移るか見てみると、分かりやすいかもしれません。

引用返信/返信 [メール受信/OFF] 削除キー/

■34141 / inTopicNo.4)

▲▼■

□投稿者/ よう? size= 一般人(1回)-(2008/07/07(Mon) 13:38:44)

ありがとうございます。
ただ最初のｆ(1)=1ならｆ(ｆ(1))=1となるのでｆ(1)＞1からα=2しかありえません

というところが理解できませんでした。もう少し詳しく教えてくれませんか？
自分でkeiさんのを見本にやってみてｆ(ｆ(1))=3と条件1よりｆ(1)=1,2,3で
ｆ(1)=1のときｆ(1)=3*1となり不適
ｆ(1)=3のときｆ(3)=3となり条件1に反するので不適
でもこれじゃ
ｆ(1)=2の時が正しいことを説明できてないですよね？？ひたすら具体的にやっていけば続いていくのは分かるんですが…ということでどうしたらよいのでしょう。

そして実際の入試問題の時は
ｆ(1)=2
ｆ(2)=3
ｆ(3)=6
ｆ(6)=９
ｆ(9)=18
ｆ(18)=27
ｆ(27)=54
ｆ(54)=81
ｆ(162)=243
ｆ(243)=486
ｆ(486)=729
ｆ(729)=1458
ｆ(1458)=2187
ｆ(2187)=4374
であり後は調べて行くというふうに記述していいのでしょうか？具体的すぎて数学的に点数がもらえるのか心配です。ほかにも筆記問題のときに確率の問題をすべて数え上げるのって点数もらえるのでしょうか？

そして
ｆ(162)=243
ｆ(243)=486
からｆ(223)をどうやってもとめたのですか!?

(携帯)

引用返信/返信 [メール受信/OFF] 削除キー/

■34146 / inTopicNo.5)

　Re[3]: re

▲▼■

□投稿者/ kei 一般人(21回)-(2008/07/08(Tue) 00:46:15)

> ただ最初のｆ(1)=1ならｆ(ｆ(1))=1となるのでｆ(1)＞1からα=2しかありえません
>
> というところが理解できませんでした。もう少し詳しく教えてくれませんか？
> 自分でkeiさんのを見本にやってみてｆ(ｆ(1))=3と条件1よりｆ(1)=1,2,3で
> ｆ(1)=1のときｆ(1)=3*1となり不適
> ｆ(1)=3のときｆ(3)=3となり条件1に反するので不適
> でもこれじゃ
> ｆ(1)=2の時が正しいことを説明できてないですよね？？ひたすら具体的にやっていけば続いていくのは分かるんですが…ということでどうしたらよいのでしょう。

いえ、f(1)=2の時が正しいことは説明できています。
「正の整数ｎに対して、正の整数ｆ(ｎ)が次の1、2を満たすように定義されている。」
と問題文にあるので、f(1)は「定義されている」はずです。よって、f(1)≦3が分かれば、自動的にf(1)=1,f(1)=2,f(1)=3のどれかが正しいはずです。よって、f(1)=1とf(1)=3とはなりえないことが言えれば、自動的にf(1)=2が正しいということができます。

>
> そして実際の入試問題の時は
> ｆ(1)=2
> ｆ(2)=3
> ｆ(3)=6
> ｆ(6)=９
> ｆ(9)=18
> ｆ(18)=27
> ｆ(27)=54
> ｆ(54)=81
> ｆ(162)=243
> ｆ(243)=486
> ｆ(486)=729
> ｆ(729)=1458
> ｆ(1458)=2187
> ｆ(2187)=4374
> であり後は調べて行くというふうに記述していいのでしょうか？具体的すぎて数学的に点数がもらえるのか心配です。ほかにも筆記問題のときに確率の問題をすべて数え上げるのって点数もらえるのでしょうか？

「後は調べていく」と書くのはまずいですが、すべて書ききれば(数え上げれば)、もちろん点はもらえます(減点なし)

> そして
> ｆ(162)=243
> ｆ(243)=486
> からｆ(223)をどうやってもとめたのですか!?

いえ、f(162)=243,f(243)=486は使っていません。もっとf(α)が223に近づくようなαを探してください。

引用返信/返信 [メール受信/OFF] 削除キー/

■34185 / inTopicNo.6)

▲▼■

□投稿者/ ようすけ一般人(7回)-(2008/07/09(Wed) 10:33:12)

考えてみましたがｆ(223)の求め方がわかりません;

(携帯)

引用返信/返信 [メール受信/OFF] 削除キー/

■34206 / inTopicNo.7)

　Re[5]: re

▲▼■

□投稿者/ WIZ 付き人(80回)-(2008/07/10(Thu) 10:19:05)

横から失礼します。

f(k) = mならばf(f(k)) = f(m) = 3kです。
よってf(f(m)) = f(3k) = 3m = 3f(k)です。

表を作ってみると、既に一部keiさんが述べられているように以下のようになります。

f(1) = 2, f(2) = 3, f(3) = 6, f(4) = 7, f(5) = 8, f(6) = 9,
f(7) = 12, f(8) = 15, f(9) = 18, f(10) = 19, f(11) = 20, f(12) = 21,
f(13) = 22, f(14) = 23, f(15) = 24, f(16) = 25, f(17) = 26, f(18) = 27,
f(19) = 30, f(20) = 33, f(21) = 36, f(22) = 39, f(23) = 42, f(24) = 45,
f(25) = 48, f(26) = 51, f(27) = 54, f(28) = 55, f(29) = 56, f(30) = 57,
f(31) = 58, f(32) = 59, f(33) = 60, f(34) = 61, f(35) = 62, f(36) = 63,
f(37) = 64, f(38) = 65, f(39) = 66, f(40) = 67, f(41) = 68, f(42) = 69,
f(43) = 70, f(44) = 71, f(45) = 72, f(46) = 73, f(47) = 74, f(48) = 75,
f(49) = 76, f(50) = 77, f(51) = 78, f(52) = 79, f(53) = 80, f(54) = 81,
f(55) = 84, f(56) = 87, f(57) = 90, f(58) = 93, f(59) = 96, f(60) = 99,
f(61) = 102, f(62) = 105, f(63) = 108, f(64) = 111, f(65) = 114, f(66) = 117,
f(67) = 120, f(68) = 123, f(69) = 126, f(70) = 129, f(71) = 132, f(72) = 135,
f(73) = 138, f(74) = 141, f(75) = 144, f(76) = 147, f(77) = 150, f(78) = 153,
f(79) = 156, f(80) = 159, f(81) = 162, f(82) = 163, f(83) = 164, f(84) = 165,
f(85) = 166, f(86) = 167, f(87) = 168, f(88) = 169, f(89) = 170, f(90) = 171,
f(91) = 172, f(92) = 173, f(93) = 174, f(94) = 175, f(95) = 176, f(96) = 177,
f(97) = 178, f(98) = 179, f(99) = 180, f(100) = 181, f(102) = 182, f(102) = 183,
f(103) = 184, f(104) = 185, f(105) = 186, f(106) = 187, f(107) = 188, f(108) = 189,
f(109) = 190, f(110) = 192, f(111) = 192, f(112) = 193, f(113) = 194, f(114) = 195,
f(115) = 196, f(116) = 197, f(117) = 198, f(118) = 199, f(119) = 200, f(120) = 201,
f(121) = 202, f(122) = 203, f(123) = 204, f(124) = 205, f(125) = 206, f(126) = 207,
f(127) = 208, f(128) = 209, f(129) = 210, f(130) = 211, f(131) = 212, f(132) = 213,
f(133) = 214, f(134) = 215, f(135) = 216, f(136) = 217, f(137) = 218, f(138) = 219,
f(139) = 220, f(140) = 221, f(141) = 222, f(142) = 223, f(143) = 224, f(144) = 225

f(2007) = f(3^2*223) = 3^2*f(223)ですが、
上の表からf(142) = 223ですから、f(223) = 3*142 = 426です。
よってf(2007) = 3^2*426 = 3834です。

# 上記表の作成にはかなり時間がかかるので、
# 入試の問題だとするともっと上手な計算方法があるのかもしれません。

引用返信/返信 [メール受信/OFF] 削除キー/

■34208 / inTopicNo.8)

　Re[5]: re

▲▼■

□投稿者/ らすかる大御所(361回)-(2008/07/10(Thu) 10:49:58)
http://www10.plala.or.jp/rascalhp

ようすけさんが34141で書かれた表から、729≦n≦1458に対して
f(729)=1458,f(730)=1459,…,f(n)=n+729,…,f(1458)=2187
であり、2007-729=1278 なので f(1278)=2007
よって f(2007)=f(f(1278))=3×1278=3834

引用返信/返信 [メール受信/OFF] 削除キー/

トピック内ページ移動 / << 0 >>

このトピックに書きこむ

過去ログには書き込み不可

- Child Tree -
Edit By 数学ナビゲーター