数学ナビゲーター掲示板 [One Topic All View / Re[1]: 軌跡について教えてください / Page: 0]

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■341 / inTopicNo.1)

　軌跡について教えてください

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□投稿者/ ぱちみ一般人(1回)-(2005/05/02(Mon) 10:30:58)

以下の軌跡に関する問題が解けません。どなたか教えていただけないでしょうか。

【問題】
２直線 tx-y=t･････①、x+ty=-1･････②の交点の描く軌跡を求めよ。

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■342 / inTopicNo.2)

　Re[1]: 軌跡について教えてください

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□投稿者/ 豆一般人(46回)-(2005/05/02(Mon) 10:50:53)

tを消去してやればいいです。
(1)から、y=t(x-1)
(2)から、ty=-(x+1)
両式を掛けると
ty^2=-t(x^2-1)　・・・(3)
t=0のとき(1)、(2)よりx=-1かつy=0
t≠0のとき、(3)をtで割って、
y^2=-x^2+1
つまりx^2+y^2=1
x=-1,y=0もこの方程式を満たすので、
結局x^2+y^2=1が交点の満たす軌跡である。

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■343 / inTopicNo.3)

　Re[1]: 軌跡について教えてください

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□投稿者/ kei 一般人(7回)-(2005/05/02(Mon) 10:57:17)

交点の座標を(p,q)として、pとqの関係式を求めます。
点(p,q)は直線①、②上にあるので次が成り立ちます。
tp-q=t,p+tq=-1
この2式を連立させてtを消し、pとqの関係式を求めると、
(q≠0のとき)
p^2+q^2=1
(q=0のとき)
(p,q)=(-1,0)

∴(p,q)は円x^2+y^2=1(ただし、(1,0)は除く)の周上を動く。

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■344 / inTopicNo.4)

　Re[1]: 軌跡について教えてください

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□投稿者/ X 一般人(22回)-(2005/05/02(Mon) 11:02:25)

2005/05/02(Mon) 11:11:35 編集(投稿者)

①より
t(x-1)-y=0
②より
{x-(-1)}+ty=0
∴①、②はそれぞれ定点(1,0),(-1,0)を通る (A)
ことが解ります。
次にt≠0のとき、①、②の傾きをa,bと置くと
a=t,b=-1/t
∴ab=-1ゆえ①⊥②　(B)
t=0のときは
①：y=0
②：x=-1
ゆえにこのときも①⊥②　(C)
よって定点(1,0),(-1,0)をP,Q,①、②の交点をRとおくと、(A)(B)(C)から∠PRQは線分PQを直径とする円の円周角と見ることができますから、求める軌跡は
定点(1,0),(-1,0)を結ぶ線分を直径とする円
(但し、点(1,0)を除く)
となります。
問題はこの円の式ですが
中心は定点(1,0),(-1,0)を結ぶ線分の中点になりますから(0,0)
半径はこれと点(1,0)との距離に等しいですから1
∴x^2+y^2=1
となります。

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■345 / inTopicNo.5)

　Re[1]: 軌跡について教えてください

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□投稿者/ ぱちみ一般人(2回)-(2005/05/02(Mon) 11:12:45)

tの消去の仕方でつまづいていたので、とても参考になりました。丁寧なご解答ありがとうございました。

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■346 / inTopicNo.6)

　Re[2]: 軌跡について教えてください

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□投稿者/ ぱちみ一般人(3回)-(2005/05/02(Mon) 11:16:33)

図形的にも解くことができるんですね。参考になりました。ありがとうございます。