 | # Xさんの書かれたことと一部かぶりますが
1.5 ≦ log[2](3) ≦ 1.6であるかということと、2^1.5 ≦ 3 ≦ 2^1.6は同値です。
3のべき乗と、2のべき乗の大小を比較して評価していく方法があります。
8 = 2^3 < 3^2 = 9から、両辺の平方根をとって2^1.5 < 3^1です。
243 = 3^5 < 2^8 = 256から、両辺の5乗根をとって3^1 < 2^1.6です。
すなわち1.5 < log[2](3) < 1.6です。
3^1 = 3, 3^2 = 9, 3^3 = 27, 3^4 = 81, 3^5 = 243, 3^6 = 729, 3^7 = 2187,
3^8 = 6561, 3^9 = 19683, 3^10 = 59049, 3^11 = 177147, 3^12 = 531441,
3^13 = 1594323, 3^14 = 4782969, 3^15 = 14348907, 3^16 = 43046721,
3^17 = 129140163
2^1 = 2, 2^2 = 4, 2^3 = 8, 2^4 = 16, 2^5 = 32, 2^6 = 64, 2^7 = 128, 2^8 = 256,
2^9 = 512, 2^10 = 1024, 2^11 = 2048, 2^12 = 4096, 2^13 = 8192, 2^14 = 16384,
2^15 = 32768, 2^16 = 65536, 2^17 = 131072, 2^18 = 262144, 2^19 = 524288,
2^20 = 1048576, 2^21 = 2097152, 2^22 = 4194307, 2^23 = 8388608, 2^24 = 16777216,
2^25 = 33554432, 2^26 = 67108864, 2^27 = 134217728
例えば2048 = 2^11 < 3^7 = 2187から、両辺の7乗根をとって2^(11/7) < 3^1です。
11/7 = 1.571・・・です。すなわち1.571 < log[2](3)
524288 = 2^19 < 3^12 = 531441から、両辺の12乗根をとって2^(19/12) < 3^1です。
19/12 = 1.583・・・です。すなわち1.583 < log[2](3)
129140163 = 3^17 < 2^27 = 134217728から、両辺の17乗根をとって3^1 < 2^(27/17)です。
27/17 = 1.588・・・ < 1.589です。すなわちlog[2](3) < 1.589
以上から1.583 < log[2](3) < 1.589です。
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