 | ＞∠ＡからＢＣに下ろした線分が辺ＢＣを２等分する
∠Aからというより、AからBCの中点を結んだ線上に重心はありますね。
（厳密にはこれは定義ではなく結果なのですが、それは置いておきましょう）
Aを始点とした時、BCの中点（Dとしましょう）を結んだベクトルは
AD→=(1/2)(AB→+AC→)ですが、Gはこの線上にあることしか今は分かっていませんから、
未知数xを考えれば
AG→=(1/2)x(AB→+AC→)・・・(1)と置けます。
これだけではGは決まりませんので、もう一本中線を引きましょう。
今度はBからCAの中点（Eとしましょう）を結んだ時に、
同様に未知数yを考えれば、
BG→=(1/2)y(BA→+BC→)・・・（２）となりますね。
BG→=BA→+AG→=-AB→+AG→
BA→=-AB→
BC→=BA→+AC→=-AB→+AC→ の3式を(2)に代入すれば、
-AB→+AG→=(1/2)y(-AB→-AB→+AC→)
整理すると、
AG→=(1-y)AB→+(y/2)AC→・・・(3)
ここで(1)と(3)を比較すればAB→とAC→は独立(A,B,Cが一直線上に無い)だから、
AB→とAC→の係数は等しくなければならないので、
x/2=1-y かつx/2=y/2 となります。
つまりx=y=2/3です。
これを(2)に代入すれば、
AG→=(1/3)(AB→+AC→) となり、題意が示されました。
一般的に、三角ABCの重心Gは
あるベクトルの始点をOとしたとき、
OG→=(1/3)(OA→+OB→+OC→)
という公式(テキストに載っていないですか？)を示すことが出来ます。
ここでOとAを一致させれば、
AA→=0→ですから、
AG→=(1/3)(AB→+AC→) となります。
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