数学ナビゲーター掲示板 [One Topic All View / Re[2]: 積分計算 / Page: 0]

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■34034 / inTopicNo.1)

　積分計算

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□投稿者/ げん一般人(1回)-(2008/07/01(Tue) 17:00:34)

①∫x/(x^4+1)dxを(tanx^2)^(-1)で表せ。

どなたか教えてください。あとこの問題は高校の範囲なのでしょうか？

(携帯)

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■34035 / inTopicNo.2)

　Re[1]: 積分計算

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□投稿者/ ottfoekst 一般人(2回)-(2008/07/01(Tue) 17:22:58)

2008/07/01(Tue) 17:24:56 編集(投稿者)

$2$x^2=\tan \theta$ と置換すると、 $2$2xdx=\frac{1}{\cos ^2 \theta}d\theta$ なので
$2$\displaystyle\int { \frac{x}{x^4 +1} dx}=\frac{1}{2}\displaystyle\int \frac{1}{\tan ^2 \theta +1}\frac{1}{\cos ^2 \theta}d\theta =\frac{1}{2}\displaystyle\int \frac{\cos ^2 \theta}{\cos ^2 \theta}d\theta =\frac{1}{2}\displaystyle\int d\theta =\frac{1}{2} \theta +C$ (Cは積分定数)

$2$\theta =\tan ^{-1} x^2$ なので、求める積分は $2$\frac{1}{2}\tan ^{-1} x^2 +C$

$2$\displaystyle\int \frac{1}{1+x^2}dx$ の積分を求める際に $2$x=\tan \theta$ と置換するのは教科書に載っているはずなので、この問題はちょっとひねってはありますが明らかに高校の範囲でしょう。高校でtanの逆関数が出るかは少し疑問ですが。

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■34046 / inTopicNo.3)

　Re[2]: 積分計算

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□投稿者/ げん一般人(2回)-(2008/07/02(Wed) 00:38:51)

ありがとうございます。高校の教科書には載ってなくて・・・助かりました。

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