 | 正三角形をＡＢＤとし、ＣからＡＢへ垂線ＯＨをおろします。
するとＣＨは△ＡＢＤに内接する円の半径となります。
∠ＡＣＨ＝60°になるので、ＣＡ：ＣＨ＝2：1
(大きい円の面積)：Ｓ[3]＝ＣＡ^2：ＣＨ^2＝4：1
よって、Ｓ[3]＝1/4 となります。
正方形においても同様に、中心から辺に垂線を下ろすと、直角二等辺三角形ができるので、２円の半径の比は √2：１ となります。
よって、Ｓ[4]＝(1/√2)^2＝1/2 となります。
正ｎ角形の場合もＣから辺ＡＢに垂線ＣＨを下ろすと ∠ＡＣＨ＝2π/(2n)＝π/n
ＣＡ：ＣＨ＝1：cos(π/n) となり
Ｓ[n]＝cos^2(π/n)
lim[n→∞](1-Ｓ[ｎ])＝lim[n→∞]{1−cos^2(π/n)}
＝lim[n→∞]{sin^2(π/n)}＝０
となります。
|
