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■33934 / inTopicNo.1) 　背理法
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□投稿者/ メ事案 一般人(1回)-(2008/06/26(Thu) 22:42:03)
    無理数αがα^3＝５をみたすとき、すべての有理数p,qに対して
    α^2＋pα＋q≠０であることを示せ。
    分かる方、教えてください。
    お願いします。
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■33939 / inTopicNo.2) 　Re[1]: 背理法
□投稿者/ らすかる 大御所(341回)-(2008/06/27(Fri) 00:47:52)
http://www10.plala.or.jp/rascalhp
    もし、あるp,qに対して α^2+pα+q=0 となったとすると
    両辺にαを掛けて α^3+pα^2+qα=0
    ∴5+pα^2+qα=0
    最初の式から α^2=-pα-q なので、これを代入すると
    5+p(-pα-q)+qα=0
    (q-p^2)α=pq-5
    αは無理数、q-p^2とpq-5は有理数なので、この式が成り立つためには
    q-p^2=0, pq-5=0 すなわち q=p^2, pq=5
    pq=5 に q=p^2 を代入して p^3=5
    よってpは無理数なので矛盾。
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