数学ナビゲーター掲示板 [One Topic All View / Re[2]: 三角形の任意の一辺の長さをもとめたい / Page: 0]

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■33911 / inTopicNo.1)

　三角形の任意の一辺の長さをもとめたい

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□投稿者/ こる一般人(1回)-(2008/06/25(Wed) 17:18:40)

三角形の２辺の長さa,bと面積Aがわかっている場合の
もう一辺の長さcを出す式が知りたいのですが、
ヘロンの公式から作れるのでしょうか？

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■33912 / inTopicNo.2)

　Re[1]: 三角形の任意の一辺の長さをもとめたい

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□投稿者/ ＤＡＮＤＹ　Ｕファミリー(185回)-(2008/06/25(Wed) 17:52:21)

長さがａ,ｂである２辺にはさまれた角をαとすると
Ａ＝(1/2)ａｂsinα　　だから、cosαがａ,ｂ,Ａを用いて表されますね（90°でないときは「±」の２通り考えられます）

求めたcosαを余弦定理に代入してみれば・・・・

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■33924 / inTopicNo.3)

　Re[1]: 三角形の任意の一辺の長さをもとめたい

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□投稿者/ WIZ 付き人(64回)-(2008/06/26(Thu) 10:07:07)

ヘロンの公式から
16A^2 = (a+b+c)(a+b-c)(-a+b+c)(a-b+c)
= {(a+b)^2-c^2}{c^2-(a-b)^2}
= -c^4+{(a+b)^2+(a-b)^2}c^2-(a+b)^2*(a-b)^2
= -c^4+{2a^2+2b^2}c^2-(a^2-b^2)^2

⇒ c^4-{2a^2+2b^2}c^2+{(a^2-b^2)^2+16A^2} = 0
上記をc^2の2次方程式と見なして解けば

c^2 = (a^2+b^2)±√{(a^2+b^2)^2-(a^2-b^2)^2+16A^2}
= (a^2+b^2)±√{4a^2*b^2+16A^2}

c > 0より、c = √{(a^2+b^2)±2√{a^2*b^2+4A^2}}

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■33925 / inTopicNo.4)

　Re[2]: 三角形の任意の一辺の長さをもとめたい

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□投稿者/ らすかる大御所(340回)-(2008/06/26(Thu) 10:25:29)
http://www10.plala.or.jp/rascalhp

a=4,b=5,A=6のとき
c=√{(a^2+b^2)+2√{a^2*b^2+4A^2}}=9.362…
c=√{(a^2+b^2)-2√{a^2*b^2+4A^2}}=2.376…×i（虚数）
c=3となるのを期待したのですが、なりませんでした。
実数解が2個あるはずなのに一つ虚数になるのも変ですね。

# 途中計算は見ていません。

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■33926 / inTopicNo.5)

　Re[3]: 三角形の任意の一辺の長さをもとめたい

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□投稿者/ サボテン大御所(264回)-(2008/06/26(Thu) 11:39:27)

c^2 = (a^2+b^2)±√{(a^2+b^2)^2-(a^2-b^2)^2+16A^2}
における
16A^2の符号が異なるだけではないでしょうか?
結果を
c = √{(a^2+b^2)±2√{a^2*b^2-4A^2}}
にすれば良いと思います。

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■33928 / inTopicNo.6)

　Re[1]: 三角形の任意の一辺の長さをもとめたい

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□投稿者/ ＤＡＮＤＹ　Ｕファミリー(187回)-(2008/06/26(Thu) 16:04:37)

2008/06/26(Thu) 16:06:07 編集(投稿者)

WIZさんの答えに疑義が出ているようなので、私の解法でも答えを出しておきます。

長さがａ,ｂである２辺にはさまれた角をαとすると
Ａ＝(1/2)ａｂsinα　より、 sinα＝2Ａ/ab　
∴ cosα＝±√{1－(2Ａ/ab)^2}＝±√{a^2*b^2－4Ａ^2}/(ab)

余弦定理に当てはめると
ｃ^2＝a^2＋b^2±2ab*√(a^2*b^2－4Ａ^2)/(ab)
＝a^2＋b^2±2*√(a^2*b^2－4Ａ^2)
ｃ＞0　だから　ｃ＝√{(a^2＋b^2)±2*√(a^2*b^2－4Ａ^2)}

となり、サボテンが書かれた式と同じになります。

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■33929 / inTopicNo.7)

　Re[1]: 三角形の任意の一辺の長さをもとめたい

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□投稿者/ こる一般人(2回)-(2008/06/26(Thu) 16:42:01)

みなさんありがとうございます＾＾；
エクセルで入力してみるんですが
C=４と出てきません＾＾；
ヘロンの公式のcを左辺に移行して残りを右辺にもってくれば
すむのかなと単純に思い、ルートの処理が困っていたのですが
とても難しい式になってしまうんですね。。

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■33936 / inTopicNo.8)

　Re[2]: 三角形の任意の一辺の長さをもとめたい

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□投稿者/ WIZ 付き人(65回)-(2008/06/26(Thu) 23:33:36)

らすかるさん、サボテンさん、ＤＡＮＤＹ　Ｕさん、そしてこるさん、
間違った式を書いてしまい申し訳ありませんでした。

> ⇒ c^4-{2a^2+2b^2}c^2+{(a^2-b^2)^2+16A^2} = 0
> 上記をc^2の2次方程式と見なして解けば
>
> c^2 = (a^2+b^2)±√{(a^2+b^2)^2-(a^2-b^2)^2+16A^2}

c^2 = (a^2+b^2)±√{(a^2+b^2)^2-(a^2-b^2)^2-16A^2}
でした。

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