 | この場合はt=0が確定特異点になります。
解はx=∑a_kt^(k+r)と展開できます。
x"=∑(k+r)(k+r-1)a_kt^(k+r-2) (k≧0)
x'=∑(k+r)a_kt^(k+r-1) (k≧0)
(2/t+t)x'=∑2(k+r)a_kt^(k+r-2)+∑(k+r-2)a_(k-2)t^(k+r-2)
(1-2/t^2)x=∑a_(k-2)t^(k+r-2)-∑2a_kt^(k+r-2)
これらを代入すると、
(k+r)(k+r-1)a_k+2(k+r)a_k-2a_k + (k+r-2)a_(k-2)+a_(k-2)=0
ただしa_k=0 (k<0)
整理して、
(k+r-1)(k+r+2)a_k+(k+r-1)a_(k-2)=0
k=0のとき
(r-1)(r+2)a_0=0
r=1,-2
k=1の時
r(r+3)a_1=0 →a_1=0
k≧2のとき
(k+r+2)a_k+a_(k-2)=0
a_k=a_(k-2)/(k+r+2)
以上の式から求められると思います。計算はお確かめください。
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