数学ナビゲーター掲示板 [One Topic All View / Re[2]: Re / Page: 0]

数学ナビゲーター掲示板
(現在過去ログ3 を表示中)

[ 最新記事及び返信フォームをトピックトップへ ]

■33810 / inTopicNo.1)

　微分方程式の解法についての質問です．

□投稿者/ ドラ一般人(13回)-(2008/06/18(Wed) 15:24:04)

(1)
級数展開の方法で解け．

$2$ x'' - 2tx' - 2x = 0$

(2)
フロベニウスの方法により次の微分方程式を解け．

$2$ x'' + \frac{{2 + t^2 }}{t}x' + \left( {1 - \frac{2}{{t^2 }}} \right)x = 0$

全く分からないので，どなたかよろしくお願いします！

引用返信/返信 [メール受信/OFF] 削除キー/

■33824 / inTopicNo.2)

　Re[1]: 微分方程式の解法についての質問です．

▲▼■

□投稿者/ サボテン大御所(254回)-(2008/06/19(Thu) 10:20:08)

2008/06/19(Thu) 15:18:30 編集(投稿者)

とりあえず級数展開の方法を書いておきます。
x=∑a_kt^kと級数展開します。
x"=∑(k+2)(k+1)a_(k+2)t^k (k≧0)
x'=∑ka_kt^(k-1) (k≧1)
より、

k=0 2a_2-2a_0=0 a_2=a_0

k≧1 (k+2)(k+1)a_(k+2)-ka_k-2a_k=0
a_(k+2)=a_k/(k+1)

よって、a_(2k)=a_0/(2k-1)!!
a_(2k+1)=a_1/(2k)!!

となります。計算はお確かめください。

フロベニウスの方法は
http://next1.cc.it-hiroshima.ac.jp/MULTIMEDIA/diffpub/node44.html
を参照すると良いと思います。

引用返信/返信 [メール受信/OFF] 削除キー/

■33828 / inTopicNo.3)

▲▼■

□投稿者/ のん一般人(1回)-(2008/06/19(Thu) 16:00:50)

$2$ x'' - 2tx' - 2x = 0$

$2$x = \sum\limits_{n = 0}^\infty {a_n t^n }$

$2$x' = \sum\limits_{n = 1}^\infty {na_n t^{n - 1} }$

$2$x'' = \sum\limits_{n = 2}^\infty {n\left( {n - 1} \right)a_n t^{n - 2} } = \sum\limits_{n = 0}^\infty {\left( {n + 2} \right)\left( {n + 1} \right)a_{n + 2} t^n }$

$2$ tx' = \sum\limits_{n = 1}^\infty {na_n t^n } = \sum\limits_{n = 0}^\infty {na_n t^n }$

$2$\sum\limits_{n = 0}^\infty {\left\{ {\left( {n + 2} \right)\left( {n + 1} \right)a_{n + 2} - 2na_n - 2a_n } \right\}t^n } = 0$

$2$a_{n + 2} = {2 \over {n + 2}}a_n$

$2$n = 2m$ のとき
$2$a_{2m + 2} = {1 \over {m + 1}}a_{2m} = {1 \over {m + 1}} \cdot {1 \over m}a_{2m - 2} = \cdots = {1 \over {\left( {m + 1} \right)!}}a_0$

$2$n = 2m - 1$ 　のとき
$2$a_{2m + 1} = {2 \over {2m + 1}}a_{2m - 1} = {2 \over {2m + 1}} \cdot {2 \over {2m - 1}}a_{2m - 3} = \cdots = {{2^m } \over {\left( {2m + 1} \right)!!}}a_1$

$2$x = a_1 \sum\limits_{m = 0}^\infty {{{2^m } \over {\left( {2m + 1} \right)!!}}t^{2m + 1} + a_0 e^{t^2 } }$

引用返信/返信 [メール受信/OFF] 削除キー/

■33829 / inTopicNo.4)

　Re[2]: Re

▲▼■

□投稿者/ サボテン大御所(256回)-(2008/06/19(Thu) 16:12:33)

あ・・私の計算は係数の2が抜けてましたね。
のんさんの計算が正しいと思います。

引用返信/返信 [メール受信/OFF] 削除キー/

■33841 / inTopicNo.5)

　Re[2]: Re

▲▼■

□投稿者/ ドラ一般人(14回)-(2008/06/19(Thu) 23:19:52)

サボテンさん，のんさん．回答ありがとうございました！

引用返信/返信 [メール受信/OFF] 削除キー/

トピック内ページ移動 / << 0 >>

このトピックに書きこむ

過去ログには書き込み不可

- Child Tree -
Edit By 数学ナビゲーター