数学ナビゲーター掲示板 [One Topic All View / Re[12]: 次元の問題 / Page: 0]

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■33732 / inTopicNo.1)

　次元の問題

□投稿者/ みく一般人(1回)-(2008/06/14(Sat) 20:44:38)

V,WはK上の線形空間とし、
Hom(V,W)=(VからWへの線形写像全体)とする。

V,Wの次元が各々n∈N, m∈Nのとき、Hom(V,W)の次元を求めよ。

という問題なのですが、どなたか分かるかたいらっしゃいますか？？

宜しくお願いします。

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■33733 / inTopicNo.2)

　Re[1]: 次元の問題

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□投稿者/ kei 一般人(2回)-(2008/06/14(Sat) 21:02:34)

Hom(V,W)に
(f+g)(x)=f(x)+g(x)
(af)(x)=a(f(x))
で演算を定義したベクトル空間の次元を求めよという問題ですよね？

それなら、v,Wの基底をひとつ固定すれば、Hom(V,W)の元を行列表示することによって、m×n行列と1対1対応させることができます。

後は、Hom(V,W)での演算が、行列ではどのようになるかを調べれば、mnが求める次元であることがすぐ分かると思いますよ

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■33734 / inTopicNo.3)

　Re[2]: 次元の問題

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□投稿者/ みく一般人(2回)-(2008/06/14(Sat) 21:12:10)

返信ありがとうございます。

さっそくなのですが、
(f+g)(x)=f(x)+g(x)
(af)(x)=a(f(x))
というものはどこからでてきたのですか？？

あと、
v,Wの基底をひとつ固定すれば、Hom(V,W)の元を行列表示することによって、m×n行列と1対1対応させることができます。
というのがいまいちよく分かりません；

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■33736 / inTopicNo.4)

　Re[3]: 次元の問題

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□投稿者/ kei 一般人(4回)-(2008/06/14(Sat) 21:27:29)

> さっそくなのですが、
> (f+g)(x)=f(x)+g(x)
> (af)(x)=a(f(x))
> というものはどこからでてきたのですか？？

問題文中に与えられていないでしょうか？
「次元」を求めよという問題なので、Hom(V,W)はベクトル空間でないといけません。そのためには、Hom(V,W)の元の間に「演算」がうまく定義されていないといけませんが、質問文中にはHom(V,W)がどのような集合なのかは定義されていても、どのような演算が定義されているかが書いてないので、このままでは答えようがありません。
しかし、Hom(V,W)とした場合は、"普通"上のように元の間の演算を定義するので、その場合について回答したわけです。

> あと、
> v,Wの基底をひとつ固定すれば、Hom(V,W)の元を行列表示することによって、m×n行列と1対1対応させることができます。
> というのがいまいちよく分かりません；

ベクトル空間間の線型写像は、(基底が与えられていれば)行列表示することができるという事実は知っているでしょうか？(この行列を表現行列といいますが)
逆に、行列が与えられれば線型写像がきまるので、行列と線型写像は対応するわけです。このことは線型代数の教科書に書いてあると思うので見てみてください。

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■33737 / inTopicNo.5)

　Re[4]: 次元の問題

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□投稿者/ みく一般人(3回)-(2008/06/14(Sat) 21:48:38)

書いてありました；
質問した問題と関連してたんですね；

どのような演算が定義されているかが書いてないので、このままでは答えようがありません。
とありますが、演算というのはなんのことでしょうか？？;
Hom(V,W)∋f,gとα∈Kに対して、
(f+g)(x)=f(x)+g(x)、∀x∈V,
(αf)(x)=α(f(x)), ∀x∈V
というものでしょうか。

あと、ベクトル空間間の線型写像は、(基底が与えられていれば)行列表示することができる
というものは知りませんでした；；

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■33741 / inTopicNo.6)

　Re[5]: 次元の問題

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□投稿者/ kei 一般人(6回)-(2008/06/14(Sat) 22:35:56)

> どのような演算が定義されているかが書いてないので、このままでは答えようがありません。
> とありますが、演算というのはなんのことでしょうか？？;
> Hom(V,W)∋f,gとα∈Kに対して、
> (f+g)(x)=f(x)+g(x)、∀x∈V,
> (αf)(x)=α(f(x)), ∀x∈V
> というものでしょうか。

はい。
集合Aがベクトル空間であるためには、二つの演算(「和」と「スカラー倍」と呼ぶのが一般的)が定義されていないといけません。
f,gというHom(V,W)の元(要素)を持ってきたとき、この二つの元の「和」を
(f+g)(x)=f(x)+g(x)
で定義する、と言っているわけです。
もっと噛み砕いていうと
fという線型写像(Homの元)と、gという線型写像の「和」を、「Vの元xをf(x)+g(x)に写すような線型写像」で「定義する」ということです。

スカラー倍も同様です。

行列表示の話も、今のベクトル空間の定義の話も、線型代数の教科書に載っているはずなので、確認してみてください。

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■33744 / inTopicNo.7)

　Re[6]: 次元の問題

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□投稿者/ みく一般人(4回)-(2008/06/14(Sat) 23:41:50)

教科書と照らし合わせてみたら、なんとなくは分かりました；

試行錯誤でやってみたんですが・・・

Vの基底をa1,a2,・・・an
Wの基底をb1,b2,・・・bn
として、
Hom(V,W)の基底はa1,a2,・・・,an,b1,b2,・・・,bn
だから、
基底はn+m

というふうにやってみたのですが、全然自信がありません；；
あとVの基底とWの基底を勝手にaとbとおいてしまったのですが、
この記号というのは勝手においてしまっていいのでしょうか？？

お願いします。

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■33745 / inTopicNo.8)

　Re[7]: 次元の問題

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□投稿者/ kei 一般人(9回)-(2008/06/15(Sun) 00:04:54)

> Vの基底をa1,a2,・・・an
> Wの基底をb1,b2,・・・bn
> として、

Wの基底の数はm個なので(次元の定義から)
Wの基底はb[1],b[2],…,b[m]([ ]は、中の文字が下付きであることをあらわす)
とかけますね。

> Hom(V,W)の基底はa1,a2,・・・,an,b1,b2,・・・,bn

これは何故でしょう？
Hom(V,W)の元は、(VからWへの線型)写像ですから、基底も「写像」でないといけませんよ。a[1],…は「写像」ではないですよね。

> あとVの基底とWの基底を勝手にaとbとおいてしまったのですが、
> この記号というのは勝手においてしまっていいのでしょうか？？

これはもちろんかまいません。「円周率」を「π」という記号でおいてよいのと同じです。

ちなみに答えはm+nではなく、mnだと思いますよ。

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■33746 / inTopicNo.9)

　Re[8]: 次元の問題

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□投稿者/ みく一般人(5回)-(2008/06/15(Sun) 00:22:46)

V,Wの次元が各々n∈N, m∈Nとあって、Vがnに対応していてWがmに対応しているということでしょうか？
それだと、
Vの基底をa[1],a[2],・・・a[n]
Wの基底をb[1],b[2],・・・b[m]
でいいですか？

あと、
Hom(V,W)の元は、(VからWへの線型)写像ですから、基底も「写像」でないといけませんよ。a[1],…は「写像」ではないですよね。
とあるのですが、a[1],…は「写像」ではないとはなんで分かるんですか？？

お願いします。

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■33747 / inTopicNo.10)

　Re[9]: 次元の問題

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□投稿者/ kei 一般人(10回)-(2008/06/15(Sun) 00:43:15)

> V,Wの次元が各々n∈N, m∈Nとあって、Vがnに対応していてWがmに対応しているということでしょうか？
> それだと、
> Vの基底をa[1],a[2],・・・a[n]
> Wの基底をb[1],b[2],・・・b[m]
> でいいですか？

はい。

> あと、
> Hom(V,W)の元は、(VからWへの線型)写像ですから、基底も「写像」でないといけませんよ。a[1],…は「写像」ではないですよね。
> とあるのですが、a[1],…は「写像」ではないとはなんで分かるんですか？？

a[1]というのは、Vの元ですよね。
求めているものは、「VからWへの線型写像」です。
まとめると、a[1]はVの元であって、VからWへの線型写像ではないということです。

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■33761 / inTopicNo.11)

　Re[10]: 次元の問題

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□投稿者/ みく一般人(6回)-(2008/06/15(Sun) 14:22:44)

返信遅くなりました；

やっと意味が分かりました！
ですがどのような式をたてたら、答えがnmになるのですか？

宜しくお願いします。

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■33763 / inTopicNo.12)

　Re[11]: 次元の問題

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□投稿者/ x 一般人(2回)-(2008/06/15(Sun) 18:39:00)

2008/06/15(Sun) 18:42:43 編集(投稿者)

■No33761に返信(みくさんの記事)
> 返信遅くなりました；
>
> やっと意味が分かりました！
> ですがどのような式をたてたら、答えがnmになるのですか？
>
> 宜しくお願いします。

$2$f$ が線型なら $2$V$ の任意の元 $2$\sum_i \alpha_i a_i$ に対して $2$f(\sum_i \alpha_i a_i)=\sum_i \alpha_i f(a_i)$ で, $2$f(a_i)$ は $2$W$ の元だから $2$f(a_i)=\sum_j x_{ij}b_j$ なるスカラー $2$x_{ij}$ がある. これと行列 $2$(x_{ij})$ が対応して $2$m\times n$ 行列の全体 $2$\mathrm{Mat}(m,n)$ と $2$\mathrm{Hom}(V,W)$ が線型同型になる, というような行列表現の話が教科書にあるだろ, と既に上のほうのレスで何度も書かれている. これまでレスも読み返してみたほうがいいだろう. そして, $2$\mathrm{Mat}(m,n)$ の次元は $2$mn$ .

今焦る必要は無いから, ジックリと教科書をある程度のみ込めるまで読み返すべきだろう. $2$\mathrm{Hom}(V,W)$ がどんな集合上に線型演算を入れて線型空間と見なされるか分らずに問題に取り組もうとしたり, お前さんは定義を飲み込むことの難しさや大切さをわかっていない.

このまま掲示板でやり取りを続けても, だらだらと教科書に書いてある記述を一つ一つなぞっていくだけということになりかねず, もしそうなるとそれは質問掲示板の趣旨から随分と外れたものだといわざるを得なくなる.

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■33764 / inTopicNo.13)

　Re[12]: 次元の問題

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□投稿者/ 流れ者一般人(1回)-(2008/06/15(Sun) 19:36:16)

横スレ失礼いたします。
この掲示板で前々から思っていたことなのですが、たしかに書かれた主自身の勉強不足(?)なものも見受けられますが、それに対しあまり上から目線でレスを書かれますと主自身も他に掲示板を見られてるかたも不愉快な思いをしかねないと思うので、もう少し言葉に気をつけたほうが良いかと思います。
以前違う掲示板でも少しいざこざがあったらしく、管理人様が掲示板を閉じたということがありましたので。
それにx氏がおっしゃられてる最後の部分は、この掲示板を利用されてる全ての方にも該当するのではないかと私は思います。

長文失礼いたしました。

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