 | 2008/06/17(Tue) 09:25:16 編集(投稿者)
答えから、円錐台の体積を対称軸をx軸に設定して計算しようとしているものとして回答を。
問題の円錐台を、対称軸を含む平面で切った断面を考えます。
今、対称軸をx軸、半径rの底面の断面の線分をy軸上になるようにy軸を取ったとすると
側面の平面による断面の線分の内、第一象限にあるものをlとすると
lの方程式は
y=(R-r)x/h+r (0≦x≦h)
つまり
x=(y-r)h/(R-r) (r≦y≦R) (A)'
従って、バウムクーヘンの側面の面積S(y)は
(i)0≦y≦rのとき
半径y,高さhの円柱の側面の面積ですので
S(y)=2πyh
(ii)r≦y≦Rのとき
(A)'よりバウムクーヘンの側面の高さは
h-(y-r)h/(R-r)
ですので
S(y)=2πy{h-(y-r)h/(R-r)}
よって求める体積をVとすると
V=∫[0→R]S(y)dy
=∫[0→r]2πyhdy+∫[r→R]2πy{h-(y-r)h/(R-r)}dy
これを計算すると、答えのようになります。
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