数学ナビゲーター掲示板 [One Topic All View / Re[3]: 行列 / Page: 0]

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■33713 / inTopicNo.1)

　行列

□投稿者/ tetsu 一般人(1回)-(2008/06/14(Sat) 08:17:59)

正方行列Aに対してI+Aが正則であるとする。
行列BをB=(I-A)*(I+A)^(-1)と定める。
(1)I+Bが正則であることを示せ。
(2)A=(I-B)*(I+B)^(-1)であることを示せ。

(1)は分かったのですが、(2)が分かりません。
解答をお願いします。

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■33715 / inTopicNo.2)

　Re[1]: 行列

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□投稿者/ X ベテラン(220回)-(2008/06/14(Sat) 08:54:13)

B=(I-A)*(I+A)^(-1)
の両辺に右からI+Aをかけると
(I+A)B=I-A
これより
A(I+B)=I-B
(A,Bは積に関して可換であるか否かは与えられていませんので
(I+B)A=I-B
としてはいけないことに注意。)
ここで(1)の結果を使いましょう。

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■33725 / inTopicNo.3)

　Re[2]: 行列

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□投稿者/ tetsu 一般人(2回)-(2008/06/14(Sat) 17:18:01)

A(I+B)=I-B
この式までは分かるのですが、
次に①の結果は具体的にどのように使えばいいのでしょうか？

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■33726 / inTopicNo.4)

　Re[3]: 行列

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□投稿者/ kei 一般人(1回)-(2008/06/14(Sat) 17:21:19)

両辺にI+Bの逆行列を右からかけてみては？

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■33728 / inTopicNo.5)

　Re[2]: 行列

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□投稿者/ tetsu 一般人(3回)-(2008/06/14(Sat) 19:28:43)

■No33715に返信(Xさんの記事)
> B=(I-A)*(I+A)^(-1)
> の両辺に右からI+Aをかけると
> (I+A)B=I-A

すいません。
よく考えてみると、上の式になるのが良く理解できません。
両辺に右からI+Aをかけると
B(I+A)=(I-A)になるんじゃないんですか？

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■33735 / inTopicNo.6)

　Re[3]: 行列

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□投稿者/ kei 一般人(3回)-(2008/06/14(Sat) 21:20:49)

横から失礼します。
そうですね。Xさんの回答は少しおかしいですね。

では別解というか、考え方の一例を。

A=(I-B)(I+B)^(-1)を示したいわけですが、Bは具体的にAであらわせるので、あらわしてみましょう。ただし、いきなりBに与えられたAの式を代入すると複雑になるので、少し変形してから。

A=(I-B)(I+B)^(-1)
A(I+B)=I-B
A+AB=I-B

ここで代入して

A+A(I-A)(I+A)^(-1)=I-(I-A)(I+A)^(-1)
変形して、
A(I+A)+A(I-A)=I(I+A)-(I-A)
2A=2A

証明はこれを逆にたどるだけです。

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