数学ナビゲーター掲示板 [One Topic All View / Re[6]: 素イデアルに関して質問です。 / Page: 0]

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■33695 / inTopicNo.1)

　素イデアルに関して質問です。

□投稿者/ hiryu 一般人(1回)-(2008/06/13(Fri) 13:01:52)

すいません、ちょっとしたことなのですが、いくら考えても調べてもわからなかったので質問します。

R:環,I:Rのイデアル
「Iが素イデアルならばR/Iは整域」の証明の一部で、
aバー , bバーを集合R/Iからとって　aバー・　bバー = 0バーと仮定する。
すると、aバー・　bバー = (ab)バー = 0バーより　abはIの元となる・・

とあるところに書いてあったのですが、なぜ「(ab)バー = 0バーより　abはIの元となる」のかがよくわかりません。当たり前のことらしいのですが・・・。どなたか教えていただけませんか。

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■33698 / inTopicNo.2)

　Re[1]: 素イデアルに関して質問です。

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□投稿者/ サボテンベテラン(246回)-(2008/06/13(Fri) 15:27:41)

aバーとはaにIの要素を足したものを全て同一視したものです。
つまりaバー=0バーとは
aと0はIだけの不定性を除いて等しいということです。
つまりaはIに含まれることになります。

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■33700 / inTopicNo.3)

　Re[2]: 素イデアルに関して質問です。

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□投稿者/ サボテンベテラン(249回)-(2008/06/13(Fri) 17:00:48)

直感的な説明です。
素イデアルとはab∈Iならば、a∈Iまたはb∈I
です。

R/IはIを0につぶしてしまったようなイメージです。
a~,b~∈R/Iとすると、
Iを0につぶしてしまったので、

ab∈Iならば、a∈Iまたはb∈I

は

a~b~=0ならば、a~=0またはb~=0
となります。これは整域の定義です。

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■33702 / inTopicNo.4)

　Re[3]: 素イデアルに関して質問です。

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□投稿者/ hiryu 一般人(3回)-(2008/06/13(Fri) 20:11:36)

返事をいただき、本当にありがとうございます。
R/IはIを0につぶしてしまったようなイメージ　とありますが、
それは例えば R/5Z = {0~, 1~, 2~, 3~, 4~} であるように、
5の倍数全体の集合が0~から4~までの5つの元に集約されるといった
意味でしょうか？
あってるかどうかわかりませんが、自分なりに頭の中でまとめると、
「(ab)~ = 0~ ならばabはi(iはIの要素)を法として合同。
つまりabはiの倍数。IはイデアルだからIにはiの倍数がすべて入っている。
ゆえにIはabを要素にもつ。」
こんな感じでしょうか？　”合同”という具体的な関係に限定するのは
本当はいけないことですが・・・

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■33703 / inTopicNo.5)

　Re[4]: 素イデアルに関して質問です。

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□投稿者/ hiryu 一般人(4回)-(2008/06/13(Fri) 20:22:50)

訂正です。R/5Z = {0~, 1~, 2~, 3~, 4~} ではなく
Z/5Z = {0~, 1~, 2~, 3~, 4~} でした。

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■33723 / inTopicNo.6)

　Re[5]: 素イデアルに関して質問です。

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□投稿者/ サボテン大御所(250回)-(2008/06/14(Sat) 15:00:31)

Z/5Zは仰るとおり、まさにそのものです。
5Zがイデアルなので、RをZ、Iを5Zとすればそのままのイメージです。

本によってはR/Iの要素の関係を、a=b(mod I)などと書いてありますから、
整数の'合同'と似たようなイメージで捉えて構わないと思います。

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■33866 / inTopicNo.7)

　Re[6]: 素イデアルに関して質問です。

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□投稿者/ hiryu 一般人(5回)-(2008/06/22(Sun) 10:56:17)

しばらく返信ができず、本当にすみませんでした。
自分で悩んだ末やっと理解することができました。
いままで剰余類について勘違いをしていたことに気がつきました。
ようするにa~とは簡単に書くと a~ = a+I となるんですね。
そうなると (ab)~ = ab+I , 0~ = 0+I
今(ab)~=0~なので ab+I = 0+I が成立。
そうなると明らかにabはIの元であることがわかりました。
今まで度重なる返信ありがとうございました。自分のわかりにくい
質問にも親切に答えていただき本当に感謝しています。

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