 | 横から失礼します。
ゆぃかさんの解答の基本方針は悪くないと思いますよ。
最後の計算で勘違いをされているようですが。
256通りの順列(?)を以下のグループに分けます。
(1)1回のシフトで同じになるグループ。aaaaなどで、C(4,1) = 4通りの順列があります。
(2)2回のシフトで同じになるグループ。ababなどで、4*3 = 12通りの順列があります。
(3)3回のシフトで同じになるグループ。aaaaなどで、(1)でカウント済みなので、ここでは0通りとします。
(4)4回のシフトで同じになるグループ。上記(1)(2)(3)以外の順列全てなので、256-4-12 = 240通りあります。
題意により、シフトして同じになる順列は同一視するので、
(1)は4/1 = 4通り、(2)は12/2 = 6通り、(4)は240/4 = 60通りとなりす。
よって全体で4+6+60 = 70通りとなります。
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