 | 2根をu, vとします。必要条件を求めます。
(1)判別式 a^2-4b ≧ 0の場合
2根とも実数となるので、u < 0かつv < 0であれば良いです。
x = (-a±√(a^2-4b))/2で√(a^2-4b) ≧ 0ですから、√(a^2-4b)-a < 0であれば良いです。
√(a^2-4b) < a ⇒ 0 < a。
√(a^2-4b) < aの両辺は非負なので、2乗するとa^2-4b < a^2 ⇒ -4b < 0 ⇒ b > 0。
またa^2-4b ≧ 0より、a^2/4 ≧ b。
よって、0 < aかつ0 < b ≦ a^2/4
(2)判別式 a^2-4b < 0の場合
2根は共役複素数となりますので、u+v = -a < 0より、a > 0。
a^2-4b < 0よりa^2/4 < b。
よって、0 < aかつa^2/4 < b
以上より、(1)または(2)であれば良いので、0 < aかつ0 < bであることが必要条件となります。
次に十分条件を確認します。
(3)2実根の場合
0 < aであるので、u+v = -a < 0よってu, vの一方は負。
uv = b > 0よりu, vの一方が負で、他方が非負ということはありえず、他方も負でなくてはならない。
(4)2根が共役複素数の場合
c, dを実数として、u = c+di, v = c-diと表されるとする。
u+v = 2c = -a < 0より、c < 0である。
# タイトルの「自明としてよいか？」はどういう意味でしょうか?
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