 | 横から失礼します。
(1)y = (x^2+2x+5)*(√(x+3))
積の微分を使います。
y' = (x^2+2x+5)'*((x+3)^(1/2))+(x^2+2x+5)*((x+3)^(1/2))'
問題は√(x+3) = (x+3)^(1/2)をxで微分したらどうなるか?なのだと思います。
# 既にNさんが示されていますが
z = (x+3)^(1/2), t = x+3とおくと、z = t^(1/2), dt/dx = 1, dz/dt = 1/2*t(1/2-1)です。
dz/dx = dz/dt*dt/dx = {1/2*t^(-1/2)}*1 = 1/2*(x+3)^(-1/2)
となります。
よって
dy/dx = (2x+2)*((x+3)^(1/2))+(x^2+2x+5)*(1/2*(x+3)^(-1/2))
ここで、
(2x+2)*((x+3)^(1/2)) = (2x+2)*(x+3)/(x+3)^(1/2)
(x^2+2x+5)*(1/2*(x+3)^(-1/2)) = (x^2+2x+5)*(1/2)/(x+3)^(1/2)
ですから、
dy/dx = {(2x+2)*(x+3)+(x^2+2x+5)*(1/2)}/(x+3)^(1/2)
後は計算できますよね?
(2)y = sin(3x)*cos(5x)とおきます。
積の微分を使います。
y = sin(3x)'*cos(5x)+sin(3x)*cos(5x)'
sin(3x)'の計算方法は、3x = tとおくと、3 = dt/dx, (d/dt)sin(t) = cos(t)
(d/dx)sin(3x) = (d/dt)sin(t)*dt/dx = cos(t)*3 = 3*cos(3x)です。
ほぼ同様の方法で、(d/dx)cos(5x) = -5*sin(5x)も求められます。
よって
dy/dx = (3*cos(3x))*cos(5x)+sin(3x)*(-5*sin(5x))
(3)y = log(e^(2x)+e^(-2x))
置換します。t = e^(2x)+e^(-2x)とおくと、dt/dx = 2*e^(2x)+(-2)*e^(-2x)
dy/dx = (d/dt)log(t)*dt/dx = (1/t)*(2*e^(2x)-2*e^(-2x)) = 2*(e^(2x)-e^(-2x))/(e^(2x)+e^(-2x))
# (d/dx)e^(2x) = 2*e^(2x), (d/dx)e^(-2x) = -2*e^(-2x), (d/dt)log(t) = 1/tを
# 説明抜きで使用しましたが、ご自身で調べるか、分からなければまた質問してください。
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