 | >> 手法にこだわらなければ、もっと易しく示せると思いますが…。
> もっと簡単な方法があるのですか?是非お教え下さい。m(＿ ＿)m
簡単にはなっていませんが、別解です。
フィボナッチ数の一般項はnを自然数として、
f[n] = 1/√5*{((1+√5)/2)^n-((1-√5)/2)^n}
と表されます。(nは0や負の整数でも良いのですが、割愛します。)
u = (1+√5)/2, v = (1-√5)/2とおくと
u = -1/v, v = -1/u, u^2 = (3+√5)/2 = 1/v^2, v^2 = (3-√5)/2 = 1/u^2
f[n+1]^2 = {1/√5*(u^(n+1)-v^(n+1))}^2
= 1/5*{u^(2n+2)-2u^(n+1)*v^(n+1)+v^(2n+2)}
= 1/5*{u^2*u^(2n)-2*(-1)^(n+1)+v^2*v^(2n)}
= 1/5*{(3+√5)/2*u^(2n)+2*(-1)^n+(3-√5)/2*v^(2n)}・・・(1)
n ≧ 2の場合
f[n-1]^2 = {1/√5*(u^(n-1)-v^(n-1))}^2
= 1/5*{u^(2n-2)-2u^(n-1)*v^(n-1)+v^(2n-2)}
= 1/5*{1/u^2*u^(2n)-2*(-1)^(n-1)+1/v^2*v^(2n)}
= 1/5*{(3-√5)/2*u^(2n)+2*(-1)^n+(3+√5)/2*v^(2n)}・・・(2)
(1)から(2)を引くと
f[n+1]^2-f[n-1]^2 = 1/5*{√5*u^(2n)-√5*v^(2n)} = f[2n]
となって(ア)が示されました。
f[n]^2 = {1/√5*(u^n-v^n)}^2
= 1/5*{u^(2n)-2u^n*v^n+v^(2n)}
= 1/5*{u^(2n)-2*(-1)^n+v^(2n)}・・・(3)
(2)と(3)を加えると
f[n-1]^2+f[n]^2 = 1/5*{(5-√5)/2*u^(2n)+(5+√5)/2*v^(2n)}
= 1/√5*{(√5-1)/2*u^(2n)+(√5+1)/2*v^(2n)}
= 1/√5*{-v*u^(2n)+u*v^(2n)}
= 1/√5*{u^(2n-1)-v^(2n-1)} = f[2n-1]
となって(イ)が示されました。
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