 | 横から失礼します。
|a| < bと、0 ≦ |a|より、0 < bです。
a[n] > 0, b[n] > 0を数学的帰納法で証明します。
(1)|a| < b ⇒ a[1] = (a+b)/2 ≧ (-|a|+b)/2 > 0
(2)b[1] = √(a[1]*b) > 0
(3)a[k] > 0, b[k] > 0と仮定します。
a[k+1] = (a[k]+b[k])/2 > 0, b[k+1] = √(a[k+1]*b[k]) > 0です。
a[n] < b, b[n] < bを数学的帰納法で証明します。
(1)a[1] = (a+b)/2 ≦ (|a|+b)/2 < (b+b)/2 = b
(2)b[1] = √(a[1]*b) < √(b*b) = b
(3)a[k] < b, b[k] < bと仮定します。
a[k+1] = (a[k]+b[k])/2 < (b+b)/2 = b, b[k+1] = √(a[k+1]*b[k]) < √(b*b) = bです。
<補題>
a[n]-b[n] < 0を数学的帰納法で証明します。
(1)a[1]-b[1] = (a+b)/2-√((a+b)/2*b) = √((a+b)/2)*{√((a+b)/2)-√b}
a ≦ |a| ⇒ a < b ⇒ √((a+b)/2) < √((b+b)/2) = √b ⇒ √((a+b)/2)-√b < 0 ⇒ a[1]-b[1] < 0
(2)a[k]-b[k] < 0と仮定します。
a[k+1]-b[k+1] = (a[k]+b[k])/2-√((a[k]+b[k])/2*b[k]) = √((a[k]+b[k])/2)*{√((a[k]+b[k])/2)-√b[k]}
√((a[k]+b[k])/2)-√b[k] < √(b[k]+b[k])/2)-√b[k] = 0 ⇒ a[k+1]-b[k+1] < 0
<補題終了>
a[n]が単調増加、b[n]が単調減少であることを証明します。
a[k+1]-a[k] = (a[k]+b[k])/2-a[k] = (b[k]-a[k])/2 > 0 (補題より)
b[k+1]-b[k] = √((a[k]+b[k])/2*b[k])-b[k] = √b[k]*{√((a[k]+b[k])/2)-√b[k]} < 0 (補題より)
以上から、数列a[n]は有界で単調増加なので収束します。
同様に、数列b[n]は有界で単調減少なので収束します。
n→a∞のときの、a[n]の極限をA, b[n]の極限をBとすると、0 < A < b, 0 < B < bで、
A = (A+B)/2 ⇒ A/2 = B/2 ⇒ A = Bまたは
B = √(A*B) ⇒ √B = √A ⇒ A = B
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