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■33472 / inTopicNo.1) 　証明についての質問です
  ▼■
□投稿者/ ドラ 一般人(7回)-(2008/06/02(Mon) 19:32:55)
    以下の定理が成り立つことを証明せよ．

    (1)
    (2)

    重複組み合わせについての定理のようなのですが・・・全く分からないので，よろしくお願いします！

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■33475 / inTopicNo.2) 　Re[1]: 証明についての質問です
□投稿者/ WIZ 一般人(14回)-(2008/06/02(Mon) 22:22:10)
    問題の転記誤りがあるものと思います。

    n, kの定義が明記されていないのですが、C(n,k)があることから、
    nは自然数、kは0以上n以下の整数と仮定して回答します。

    (1)n(n-1)・・・(n-k-1) ≦ (n-(k-1)/2)^kを考えます。

    k = 0の場合、左辺 = n(n-1), 右辺 = (n+1/2)^0 = 1。
    n = 1だと1(1-1) = 0 < 1で、(1)の不等式は成立します。
    n = 2だと2(2-1) = 2 > 1で、(1)の不等式は成立しません。

    k = 1の場合、左辺 = n(n-1)(n-2), 右辺 = (n)^1 = n。
    n = 1だと1(1-1)(1-2) = 0 < 1で、(1)の不等式は成立します。
    n = 2だと2(2-1)(2-2) = 0 < 2で、(1)の不等式は成立します。
    n = 3だと3(3-1)(3-2) = 6 > 3で、(1)の不等式は成立しません。

    (2)C(n,k) ≦ (n-(k-1)/2)^k/k!を考えます。
    C(n,k) = n!/{k!*(n-k)!} = n(n-1)・・・(n-k-1)/k!ですから、
    (1)の結果を利用するものと推測しますが・・・。
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■33478 / inTopicNo.3) 　[訂正] Re[2]: 証明についての質問です
□投稿者/ WIZ 一般人(18回)-(2008/06/02(Mon) 22:44:00)
    > C(n,k) = n!/{k!*(n-k)!} = n(n-1)・・・(n-k-1)/k!ですから、
    > (1)の結果を利用するものと推測しますが・・・。

    n!/{k!*(n-k)!} = n(n-1)・・・(n-k+1)/k!でした。
    そうすると(1)の結果を利用できるかどうかも微妙ですね。
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■33489 / inTopicNo.4) 　Re[3]: [訂正] Re[2]: 証明についての質問です
□投稿者/ ドラ 一般人(9回)-(2008/06/03(Tue) 16:57:19)
    回答ありがとうございました．
    もう一度詳細を記載しなおさせて頂きます．
    ご迷惑をおかけしてすみませんでした．
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■33490 / inTopicNo.5) 　Re[4]: [訂正] Re[2]: 証明についての質問です
□投稿者/ ドラ 一般人(10回)-(2008/06/03(Tue) 17:08:53)
    重複組み合わせ　
    定義：異なるｎ個の中から，重複を許してｋ個を取り出す場合の数を
    で表す．すると次の式が成り立つ．



    補助定理3.7:

    補助定理3.10が初めに投稿した定理になります．

    そして，(1)，(2)が成り立つことを示してください．
    また，(1)は数学的帰納法を用いて示せ．

    これで大丈夫でしょうか？ご迷惑をおかけしてすみません．
    もしこれで大丈夫ならもう一度よろしくお願いします．



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■33491 / inTopicNo.6) 　Re[1]: 証明についての質問です
□投稿者/ ドラ 一般人(11回)-(2008/06/03(Tue) 17:11:54)
    連続投稿すみません，問題文に間違いが見つかりました．
    本当にすみません！
    (1)
    (2)

    これが正しい定理です．


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■33494 / inTopicNo.7) 　Re[5]: [訂正] Re[2]: 証明についての質問です
□投稿者/ WIZ 一般人(23回)-(2008/06/03(Tue) 17:40:03)
    最終目的はH(n,k) = C(n+k-1,k)またはH(n,k) = H(n-1,k)+H(n,k-1)を示すことでしょうか?

    先ず
    > n, kの定義が明記されていないのですが、C(n,k)があることから、
    > nは自然数、kは0以上n以下の整数と仮定して回答します。

    上記仮定はあっていますか?

    上記仮定のもとでは、既に回答した通り
    (1) n(n-1)・・・(n-k-1) ≦ (n-(k-1)/2)^k
    はk = 0, n = 2とかk = 1, n = 3で成立しません。

    そのため
    > 問題の転記誤りがあるものと思います。
    と書いたのですが、もう一度聞きます。式の書き間違いがありませんか?

    特に階乗は積の形に展開してしまうと、特定の場合に正しい表現になりません。
    例えば(n-k-1)! = (n-k-1)*(n-k-2)*・・・*1と書いてしまうと
    n = kの場合、左辺は(-1)!となってしまい、ややこしいことになりますよね?
    階乗は展開せずに書いてください。
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■33497 / inTopicNo.8) 　Re[6]: [訂正] Re[2]: 証明についての質問です
□投稿者/ WIZ 一般人(25回)-(2008/06/03(Tue) 18:26:05)
    すれ違いになってしまいました。

    (1)はおそらく n!/(n-k)! ≦ (n-(k-1)/2)^k を証明せよと言うことだと思うので、
    そう仮定して回答します。

    数学的帰納法を使用するということなので、
    f(k) = (n-(k-1)/2)^k-n!/(n-k)!
    とおき、f(k) ≧ 0を証明します。

    (a)k = 0の場合、f(0) = (n+1/2)^0-n!/n! = 1-1 = 0
    よってnの値とは無関係に成立する。

    (b)k = mの場合、成立すると仮定する。
    すなわちf(m) = (n-(m-1)/2)^m-n!/(n-m)! ≧ 0
    f(m+1) = (n-(m+1-1)/2)^(m+1)-n!/(n-m-1)!
    ≧ {(n-(m+1)/2)^(m+1)+C(m+1,1)*(n-(m-1)/2)^m*(1/2)}-n!/(n-m)!*(n-m)
    = {(n-(m+1)/2)+(m+1)/2}*(n-(m-1)/2)^m-n!/(n-m)!*(n-m)
    = n*(n-(m-1)/2)^m-n!/(n-m)!*(n-m)
    ≧ (n-m)*(n-(m-1)/2)^m-n!/(n-m)!*(n-m)
    = (n-m)*{(n-(m-1)/2)^m-n!/(n-m)!}
    = (n-m)*f(m)
    ここで
    n-m ≧ 0, f(m) ≧ 0だから f(m+1) ≧ (n-m)*f(m) ≧ 0

    # 途中計算が間違っている可能性もありますので、ご自身でよく確認してください。

    (2)C(n,k) = n!/((n-k)!*k!) なので、
    (1)の結果の n!/(n-k)! ≦ (n-(k-1)/2)^k の両辺を正の数であるk!で割ればよい。
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■33498 / inTopicNo.9) 　Re[7]: [訂正] Re[2]: 証明についての質問です
□投稿者/ ドラ 一般人(12回)-(2008/06/03(Tue) 19:02:39)
    迅速な回答ありがとうございます！
解決済み!
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