 | 2008/06/03(Tue) 08:45:06 編集(投稿者)
1/√(1-tanx)=t
と置くと
tanx=1-1/t^2
dx/(cosx)^2=-2dt/t^3
∴dx=-2dt/{(t^3){1+(1-1/t^2)^2}}
整理して
dx=-2tdt/{t^4+(t^2-1)^2}
∴∫ydx=-2∫{(t^2)/{t^4+(t^2-1)^2}}dt
ここで
t^4+(t^2-1)^2=2t^4-2t^2+2=2(t^2+1)^2-4t^2
={(t^2+1)√2-2t}{(t^2+1)√2+2t}
=2(t^2-t√2+1)(t^2+t√2+1)
∴∫ydx=-∫{(t^2)/{(t^2-t√2+1)(t^2+t√2+1)}}dt (P)
(t^2)/{(t^2-t√2+1)(t^2+t√2+1)}=(at+b)/(t^2-t√2+1)+(ct+d)/(t^2+t√2+1)
と部分分数分解できるとすると、右辺を通分したとき
(右辺の分子)=(at+b)(t^2+t√2+1)+(ct+d)(t^2-t√2+1)
=(a+c)t^3+(b+d)t^2+(a-c)(t^2)√2+(b-d)t√2+(a+c)t+b+d
=(a+c)t^3+{(b+d)+(a-c)√2}t^2+{(b-d)√2+(a+c)}t+b+d
∴係数比較すると
a+c=0 (A)
(b+d)+(a-c)√2=1 (B)
(b-d)√2+(a+c)=0 (C)
b+d=0 (D)
(A)(D)より(B)(C)は
(a-c)√2=1 (B)
(b-d)√2=0 (C)
∴(a,b,c,d)=(1/(2√2),0,-1/(2√2),0)
よって(P)は
∴∫ydx={1/(2√2)}[∫{t/{(t^2+t√2+1)}dt-∫{t/{(t^2-t√2+1)}dt]
={1/(2√2)}{(1/2)log{(t^2+t√2+1)/(t^2-t√2+1)}
+arctan(-1+t√2)-arctan(1+t√2)}+C (P)'
(C：積分定数)
A=arctan(-1+t√2)-arctan(1+t√2)
と置くと
tanA=-2/t^2
dA/dt=1/(t^2-t√2+1)-1/(t^2+t√2+1)
=2t/{(t^2-t√2+1)(t^2+t√2+1)}
lim[t→±∞]A=0
∴-π/2≦A<0
よって
A=-arctan(2/t^2)
となるので
∫ydx={1/(2√2)}{(1/2)log{(t^2+t√2+1)/(t^2-t√2+1)}-arctan(2/t^2)}+C (P)'
tを元に戻すと
(t^2+t√2+1)/(t^2-t√2+1)=(1/t^2+(1/t)√2+1)/(1/t^2-(1/t)√2+1)
={2-tanx+√(2-2tanx)}/{2-tanx-√(2-2tanx)}
∴∫ydx={1/(4√2)}log[{2-tanx+√(2-2tanx)}/{2-tanx-√(2-2tanx)}]
-{1/(2√2)}arctan(2-2tanx)+C
となります。(計算間違いがありましたらごめんなさい。)
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