 | (1)m ≠ 0, c ≠ 0と仮定します
dv/dt = g-c/m*v = f(v)g(t)
変数分離とするため、f(v) = g-c/m*v, g(t) = 1とすれば
dv/f(v) = g(t)dtすなわち∫dv/f(v) = ∫g(t)dtより
∫dv/(g-c/m*v) = ∫1dt
-m/c*log(g-c/m*v) = t+C (Cは積分定数)
g-c/m*v = A*e^(-c/m*t) (A = e^(-c/m*C)という定数)
v = -m/c*{A*e^(-c/m*t)-g}
t = 0とおくとv = -m/c*{A-g} = 0よりA = g
よってv = mg/c*{1-e^(-c/m*t)}
(2)
dy/(y^2+y) = dx
部分分数に分解すると
1/(y^2+y) = 1/y-1/(y+1)
∫{1/y-1/(y+1)}dy = ∫dx
log(y)-log(y+1) = x+C (Cは積分定数)
y/(y+1) = A*e^x (A = e^Cという定数)
x = 0とおくと1/(1+1) = AよりA = 1/2
y = (y+1)*1/2*e^x
y(2-e^x) = e^x
よって2-e^x ≠ 0すなわちx ≠ log(2)ならば
y = e^x/(2-e^x)
(3)
定数を関数として見て良いという訳ではありません。
同次(斉次)微分方程式の基本解から、線形微分方程式の特殊解を
推論する方法として発見され、定式化されているものだと思います。
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