 | とりあえず前半の問題だけ回答します。
x[n] = aである確率をf(n, a)とします。
f(n, a) = {f(n-1, a-1)+f(n-1, a+1)}/2
= {f(n-2, a-2)+f(n-2, a)+f(n-2, a)+f(n-2, a+2)}/2^2
= {f(n-2, a-2)+2f(n-2, a)+f(n-2, a+2)}/2^2
= {f(n-3, a-3)+f(n-3, a-1)+2f(n-3, a-1)+2f(n-3, a+1)+f(n-3, a+1)+f(n-3, a+3)}/2^3
= {f(n-3, a-3)+3f(n-3, a-1)+3f(n-3, a+1)+f(n-3, a+3)}/2^3
これらからn, kを自然数で、k ≦ nとすると
f(n, a) = Σ[j = 0, k]C(k, j)f(n-k, a-k+2j)/2^k
# 厳密には数学的帰納法かその他の方法で証明しないとだめですが。
n = kとするとf(n, a) = Σ[j = 0, n]C(n, j)f(0, a-n+2j)/2^n
ここでa = 0ならf(0, a) = 1で、a ≠ 0ならf(0, a) = 0ですから、
上記の和は実はa-n+2j = 0である項以外は0です。
n-a = 2jですからaとnの奇数・偶数は一致する必要があります。
(1) |x[7]|の期待値
f(n, a) = Σ[j = 0, n]C(n, j)f(0, a-n+2j)/2^nにおいて
n = 7で、7は奇数なのでx[7] = aの可能な値は-7, -5, -3, -1, 1, 3, 5, 7です。
a-n+2j = 0よりj = (n-a)/2 = (7-a)/2。
(期待値) = Σ[a = {-7, -5, -3, -1, 1, 3, 5, 7}]{|a|*C(7, (7-a)/2)/2^7}
ここで(7-a)/2 = mとおくと、a = 7-2m
aが{-7, -5, -3, -1, 1, 3, 5, 7}の順に変化するとき
mは7から0まで1づつ減っていきますから、
(期待値) = Σ[m = 0, 7]{|7-2m|*C(7, m)/2^7}
= {|7|*C(7, 0)+|5|*C(7, 1)+|3|*C(7, 2)+|1|*C(7, 3)+|-1|*C(7, 4)+|-3|*C(7, 5)+|-5|*C(7, 6)+|-7|*C(7, 7)}/2^7
= {7*1+5*7+3*21+1*35+1*35+3*21+5*7+7*1}/2^7
= (7+35+63+35)/2^6 = 35/16
(2) Pが6回目の移動が終わった時点で、1度も0に戻っていない確率
0に戻るのは偶数回目しかないので、x[2] ≠ 0かつx[4] ≠ 0かつx[6] ≠ 0であれば良いです。
f(2, 0) = Σ[j = 0, 2]C(2, j)f(0, 0-2+2j)/2^2 = C(2, 1)/2^2 = 2/4 = 1/2
f(4, 0) = Σ[j = 0, 4]C(4, j)f(0, 0-4+2j)/2^4 = C(4, 2)/2^4 = 6/16 = 3/8
f(6, 0) = Σ[j = 0, 6]C(6, j)f(0, 0-6+2j)/2^6 = C(6, 3)/2^6 = 20/64 = 5/16
よって
(確率) = (1-1/2)(1-3/8)(1-5/16) = 1/2*5/8*11/16 = 55/256
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