 | 2008/06/23(Mon) 16:55:54 編集(投稿者)
2008/06/23(Mon) 16:53:09 編集(投稿者)
2008/06/23(Mon) 16:53:00 編集(投稿者)
待遇法ではなく対偶法です。
m,nは整数としておきます。
・対偶法
m^2+n^2が偶数⇒m+nは偶数を証明します。
m^2+n^2=2k(kは0以上の整数）とおくと、
(m+n)^2=m^2+n^2+2mn=2k+2mn=2(k+mn)
(1)と同様に、a^2が偶数ならばaは偶数という命題が成り立つので、
(m+n)^2が偶数であることからm+nは偶数であると言えます。
したがって対偶が証明されました。
・背理法
m+nが奇数ならばm^2+n^2は偶数と仮定します。
m+n=2p+1、m^2+n^2=2qとおきます。
m^2+n^2=(m+n)^2-2mn=(2p+1)^2-2mn=4p^2+4p+1-2mn
=2(2p^2+2k-mn)+1=2q
となります。
2(2p^2+2k-mn)+1=2q は左辺は奇数であるのに対し、右辺は偶数となっており、
矛盾しています。
よってm^2+n^2は偶数という仮定が間違っていることが分かります。
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