 | 横から失礼します。
> 最終的に、1/2･θ+3/4･cosθ+Cとなりました。
> これからの展開が分かりません。
I = ∫(1-x)/√(9-4x^2)dx において、x = 3/2*sin(θ)とおきます。
√(1-(sin(θ))^2) = cos(θ)と仮定してしまえば、
MIKA rinさんの計算の通り、I = θ/2+3/4*cos(θ)+Cとなります。
ここで、
θ = arcsin(2x/3)
cos(θ) = √(1-(sin(θ))^2) = √(1-(2x/3)^2)
= √(1-4x^2/9) = √(9-4x^2)/3
よって
I = 1/2*arcsin(2x/3)+3/4*1/3*√(9-4x^2)+C
= 1/2*arcsin(2x/3)+1/4*√(9-4x^2)+C
> 答えは、√(9-4X^2)/4+2/3arctan(2x/3)+Cだそうです。
J = √(9-4X^2)/4+2/3arctan(2x/3)+Cとおくと、
dJ/dx = 1/4*1/2*(9-4X^2)^(-1/2)*(-8x)+2/3*1/(1+(2x/3)^2)*2/3
= (9-4X^2)^(-1/2)*(-x)+4/9*1/(1+4x^2/9)
= -x/√(9-4X^2)+4/(9+4x^2)
この先変形を続けても
dJ/dx = (1-x)/√(9-4x^2)とはならない気がします。
またsin(θ) = 2x/3, cos(θ) = √(9-4x^2)/3ですから、
tan(θ) = {2x/3}/{√(9-4x^2)/3} = 2x/√(9-4x^2)
よって
1/2*arcsin(2x/3) = 2/3*arctan(2x/3)ともならない気がします。
問題集に解答のみ書かれていて、解法が書かれていないのなら仕方ないですが、
友人または先生がその答えだと言っているのなら、その人に解き方を
聞いてみたり、自分の計算との違いを確認してもらうのが一番早いと思います。
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