 | xyz空間の原点を中心とする半径Rの球の上半分(z > 0部分)を考えて、
その半球をxy平面に平行な平面で薄くスライスしてみます。
スライスされた円盤の半径をr, 円盤の高さ(z座標の値)をzとすると、
r^2+z^2 = R^2
円盤の球面だった部分と原点を結ぶ直線をmとし、
mがz軸となす角度をθとすると(0 ≦ θ ≦ π/2)
r = R*sin(θ)
直線mのz軸となす角度の変化をdθ, 円盤の球面だった部分の幅をdlとすると
dl = R*dθ
円盤の球面だった部分の面積をdsとすると
ds = 2πr*dl = 2πR*sin(θ)*R*dθ = 2πR^2*sin(θ)dθ
よって、お椀をひっくり返した形(!)のz = Hからz = Rまでの範囲の
球面だった部分の面積sは
z:[H,R] = θ[arcsin(H/R),π/2]より
s = ∫ds = ∫[arcsin(H/R),π/2]2πR^2*sin(θ)dθ
= 2πR^2*[-cos(θ)]_[arcsin(H/R),π/2]
= 2πR^2*{-cos(π/2)+cos(arcsin(H/R))}
ここでarcsin(H/R) = aとおくと、sin(a) = H/Rと、
0 ≦ a ≦ π/2より0 ≦ cos(a)であることから、
cos(a) = √(1-(sin(a))^2) = √(1-H^2/R^2)
よって
s = 2πR^2*√(1-H^2/R^2) = 2πR*√(R^2-H^2)
ここで、R = 7.3, H = 7.3-1.5 = 5.8を代入すると
s = 2π*7.3*√(7.3^2-5.8^2) = ・・・
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