 | 有難うございます。
スターリングの公式n!≒√(2πn)n^n/e^nを試してみました。
r=1/lim[n→∞]sup{k/k!^(1/k)∈R;k≧n}
=1/lim[n→∞]sup{k/(√(2πk)k^k/e^k)^(1/k)∈R;k≧n}
=1/lim[n→∞]sup{k/((2πk)^(1/(2k))k/e)∈R;k≧n}
=1/lim[n→∞]sup{1/((2πk)^(1/(2k))/e)∈R;k≧n}
=1/lim[n→∞]sup{e/(2πk)^(1/(2k))∈R;k≧n}
=1/lim[n→∞]∞ (∵t:=(2πk)^(1/(2k))と置き対数を採るとlnt=1/(2k)ln(2πk)
1/tdt/dk=-2/(4k^2)ln(2πk)+1/(2k)2π/(2πk)
1/tdt/dk=-1/(2k^2)ln(2πk)+1/(2k^2)
dt/dk=(2πk)^(1/(2k))(1/(2k^2)-1/(2k^2)ln(2πk))
dt/dk=(2πk)^(1/(2k))･1/(2k^2)(1-ln(2πk))
ここで1-ln(2πk)<0より(2πk)^(1/(2k))は減少数列。
よってe/(2πk)^(1/(2k))は増加数列)
=0
となってしまいどうしてもr=eが出てきません。
何を間違っているのでしょうか?
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