 | 計算方針だけ。
(1)
1/(x^3+1)を部分分数に分解します。x^3+1 = (x+1)(x^2-x+1)なので、
1/(x^3+1) = a/(x+1)+(b+cx)/(x^2-x+1)とおいてa, b, cを求めます。
∫dx/(x^3+1) = ∫a/(x+1)dx+∫(b+cx)/(x^2-x+1)dx
上記の後半の積分は、(x^2-x+1)' = 2x-1なので、
∫(b+cx)/(x^2-x+1)dx
= c/2∫(2x-1)/(x^2-x+1)dx+∫(b+c/2)/(x^2-x+1)dx
= c/2*log(x^2-x+1)+(b+c/2)∫dx/{(x-1/2)^2+3/4}
更に上記の後半の積分は、(√3)/2*(x-1/2) = tanθとおきます。
(√3)/2*dx = ((tanθ)^2+1)dθですから
∫dx/{(x-1/2)^2+3/4}
= ∫2/(√3)*((tanθ)^2+1)dθ/{3/4(tanθ)^2+3/4}
= 2/(√3)*4/3∫dθ
= 8/(3√3)θ
= 8/(3√3)arctan((√3)/2*(x-1/2))
(2)
√(x^2+1) = x+tとおきます。両辺を2乗してx^2+1 = x^2+2xt+t^2
すなわちx = 1/2*(1/t-t)。dx = 1/2(-1/t^2-1)dt
∫dx/√(x^2+1)
= ∫1/2(-1/t^2-1)dt/{1/2*(1/t-t)+t}
= -∫1/tdt
= -log(t)
= -log(√(x^2+1)-x)
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