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■33138 / inTopicNo.1)

　領域

□投稿者/ 愛一般人(6回)-(2008/05/17(Sat) 10:52:24)

放物線ｙ＝ｘ＾２上の動転Ｐ(ｐ,ｐ＾２),Ｑ(ｑ,ｑ＾２)(ただしｐ＜ｑ)における接線の交点をＲとする。

(１)Ｒの座標をｐとｑを用いて表せ。

(２)点Ａ(ａ,ｂ)をｂ＞ａ＾２をみたすようにとる。
線分ＰＱがＡを通るようにＰ,Ｑが動くとき､Ｒはある直線上を動く。
その直線の方程式を求めよ。

(３)点Ａ(ａ,ｂ)がｂ＞ａ＾２をみたしながら､直線ｙ＝４ｘ上を動くとき､(２)で求めた直線の通りうる範囲を図示せよ。

やりかたが全くわかりません…↓↓
教えてください。
よろしくお願いします。

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■33142 / inTopicNo.2)

　Re[1]: 領域

▲▼■

□投稿者/ WIZ 一般人(3回)-(2008/05/17(Sat) 15:40:16)

(1)
Pの接線の方程式は y-p^2 = 2p(x-p)。
Qの接線の方程式は y-q^2 = 2q(x-q)。
よって交点は
2p(x-p)+p^2 = 2q(x-q)+q^2
2(p-q)x = p^2-q^2
x = (p+q)/2
y = 2p(x-p)+p^2 = 2p((p+q)/2-p)+p^2 = p(p+q)-p^2 = pq
よってR((p+q)/2, pq)。

(2)
PとQを通る直線の方程式は
(y-q^2)/(p^2-q^2) = (x-q)/(p-q)
y-q^2 = (x-q)(p+q) = (p+q)x-pq-q^2
y = (p+q)x-pq。
上記の直線はAも通るので、
b = (p+q)a-pq。
ここでR((p+q)/2, pq) = R(u, v)とおくと
b = 2ua-v
v = 2au-b
よってRは直線y = 2ax-b上にある。

(3)
Aがy = 4x上にあるので、b = 4a。
b > a^2より、4a > a^2。
a = 0は上記不等式を満たさないので、a ≠ 0。
a > 0の場合、不等式の両辺をaで割っても不等号の向きは変わらないので、4 > a > 0。
a < 0の場合、不等式の両辺をaで割ると不等号の向きが反転するので4 < a < 0となり不可能。
よって0 < a < 4の場合の直線y = 2ax-b = 2ax-4aを図示すれば良い。

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