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■33133 / inTopicNo.1) 　幾何です。おねがいします。
  ▼■
□投稿者/ フランス革命 一般人(1回)-(2008/05/17(Sat) 02:14:18)
    AB=ACである二等辺三角形ABCを考える。辺ABの中点をMとし、辺ABを延長した直線上に点Nを、AN：NB＝2：1となるようにとる。このとき∠BCM＝∠BCNとなることを示せ。ただし、点Nは辺AB上にはないものとする。


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■33136 / inTopicNo.2) 　Re[1]: 幾何です。おねがいします。
□投稿者/ miyup 大御所(465回)-(2008/05/17(Sat) 10:41:26)
    ■No33133に返信(フランス革命さんの記事)
    > AB=ACである二等辺三角形ABCを考える。辺ABの中点をMとし、辺ABを延長した直線上に点Nを、AN：NB＝2：1となるようにとる。このとき∠BCM＝∠BCNとなることを示せ。ただし、点Nは辺AB上にはないものとする。

    AC＝a とおくと AM＝a/2、AN＝2a
    ∠CAB＝θとおいて、余弦定理より
    　△CAM：CM^2＝5a^2/4-a^2cosθ
    　△CAN：CN^2＝5a^2-4a^2cosθ
    すなわち、CN^2＝4CM^2 で、CM：CN＝1：2
    △CMN について
    CM：CN＝MB：BN＝1：2 であるから
    CB は ∠MCN の２等分線である
    よって
    ∠BCM＝∠BCN。
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■33137 / inTopicNo.3) 　Re[1]: 幾何です。おねがいします。
□投稿者/ ＤＡＮＤＹ　Ｕ ファミリー(174回)-(2008/05/17(Sat) 10:42:49)
    2008/05/17(Sat) 10:47:49 編集(投稿者)

    簡明化のため ＡＢ＝ＡＣ＝２ とし、ＢＣ＝ａ,ＮＣ＝ｂ,ＭＣ＝ｃ　とおきます。
    中線定理より
    △ＡＢＣにおいて、ａ^2＋2^2＝2(ｃ^2＋1^2) ∴ａ^2＝2ｃ^2−2　・・・(1)
    △ＡＮＣにおいて、ｂ^2＋2^2＝2(ａ^2＋2^2) ∴ｂ^2＝2ａ^2＋4　・・・(2)
    (1)を(2)に代入すると　ｂ^2＝4ｃ^2
    ｂ,ｃ＞0 より　ｂ＝2ｃ
    したがって　ＮＣ：ＭＣ＝2：1＝ＮＢ：ＭＢ
    よって　∠ＢＣＭ＝∠ＢＣＮ　　となります。

    [編集]miyup さん　すみません、かぶってしまいました。
    解法が違うので、別解として残しておきます。
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