 | # 計算間違いをしている可能性がありますので鵜呑みにしないでください。
(1)
角度θの対辺の長さをn+2とすると、余弦定理より
cosθ = {n^2+(n+1)^2-(n+2)^2}/{2n(n+1)}
= {n^2+n^2+2n+1-n^2-4n-4}/{2n(n+1)}
= {n^2-2n-3}/{2n(n+1)}
= (n+1)(n-3)/{2n(n+1)}
= (n-3)/(2n)
鈍角(θ > π/2)である条件はcosθ < 0。よってn < 3。
鋭角(θ < π/2)である条件はcosθ > 0。よってn > 3。
(2)
# 三辺の長さがa, b, cである三角形の内接円の半径rは
# t = (a+b+c)/2とおいて、r = √{(t-a)(t-b)(t-c)/t}
内接円の半径をrとすると
r = √{((3n+3)/2-n)((3n+3)/2-n-1)((3n+3)/2-n-2)/((3n+3)/2)}
= √{(3n+3-2n)(3n+3-2n-2)(3n+3-2n-4)/(3n+3)}
= √{(n+3)(n+1)(n-1)/(3n+3)}
= √{(n+3)(n-1)/3}
ここで
(n+3)(n-1) = n^2+2n-3 = (n+1)^2-4
よってr > 0となる最小値はn = 2の時で
r = √{(2+3)(2-1)/3} = √(5/3)
(3)
# 正弦定理より1つの内角の角度がAで、対角の長さがaである
# 三角形の外接円の半径Rは 2R = a/sinA
外接円の半径をRとする。長さn+2の辺の対角の角度をθとする
2R = (n+2)/sinθ。
0 < θ < πでsinθ > 0だから、sinθ = √(1-(cosθ)^2)。
(1)で計算した通りcosθ = (n-3)/(2n)だから
sinθ = √(1-((n-3)/(2n))^2)
= √({4n^2-(n^2-6n+9)}/((2n)^2)))
= 1/(2n)*√(3n^2+6n-9)
= 1/(2n)*√(3(n-1)(n+3))
R = (n+2)/(2sinθ)
= (n+2)/{2*1/(2n)*√(3(n-1)(n+3))}
= n(n+2)/√(3(n-1)(n+3))
R/r = {n(n+2)/√(3(n-1)(n+3))}/{√{(n+3)(n-1)/3}}
= n(n+2)/{√(3(n-1)(n+3))*√{(n+3)(n-1)/3}}
= n(n+2)/√(3/3*(n-1)^2*(n+3)^2)
= n(n+2)/((n-1)(n+3))
f(x) = x(x+2)/((x-1)(x+3))とおくと
f'(x) = {(2x+2)(x^2+2x-3)-(x^2+2x)(2x+2)}/((x-1)^2*(x+3)^2)
= {(2x+2)*(-3)}/((x-1)^2*(x+3)^2)
x < -1のときf'(x) > 0、f(x)は増加
x = -1のときf'(x) = 0、f(x)は極大
x > -1のときf'(x) < 0、f(x)は減少
よってn = 2のときR/rが最大で、
R/r = 2(2+4)/((2-1)(2+3)) = 2*6/(1*5) = 12/5。
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