数学ナビゲーター掲示板 [One Topic All View / Re[4]: 相似な行列 / Page: 0]

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■33096 / inTopicNo.1)

　相似な行列

□投稿者/ スール一般人(4回)-(2008/05/14(Wed) 16:44:41)

行列Aが、A=[(-1,-3,4),(5,8,-5),(6,7,-3)] (順に第１行、第２行、第３行成分です）
と与えられている。
また、B=[(a,b+5,-7),(-10,-7,10),(2,b,1)]であるとき
正則行列Qを用いて、(インバースを^-1と表すことにします)
Q^-1BQ=A　と表せる。このときa,bの満たすべき条件を求めよ、という問題です。

相似な行列の性質を使って、detA=detB　であることから計算すると、
(a-10)(10b+7)=0 よりa=10またはb=-7/10
trA=trB であることから、a=10　という値が出たのですが、
この場合bの値が任意になってしまいます。
このような場合もあり得るのでしょうか、それとも他に足りない条件があるのでしょうか。

もう一つ、同じ問題設定で、A^nを求めよ、というものがあるのですが、
Aが対角化できないことや、帰納法も予想ができなかったこと、
Q^-1BQ=AよりBQ=QAからQだけでも求めてみようと思ってもQの未知数が多すぎて
方程式を解くのがかなり困難なこと、といったことからどうにも解くことができません。
この問題の（１）でAの固有値と固有ベクトルを求めさせていることからそれを用いるのかとも思ったのですが、使い方が分かりませんでした。

以上の２点ですが、ご存知の方いらっしゃいましたらよろしくお願い致します。

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■33110 / inTopicNo.2)

　Re[1]: 相似な行列

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□投稿者/ サボテンベテラン(216回)-(2008/05/15(Thu) 09:23:57)

A^nに関してはAを対角成分とべき零行列成分に分割すれば計算できると思います。

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■33111 / inTopicNo.3)

　Re[2]: 相似な行列

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□投稿者/ スール一般人(5回)-(2008/05/15(Thu) 13:26:43)

回答ありがとうございます。
行列を対角行列とベキ零行列に分ける方法を調べてみたのですが、
探し方が悪いのか、見つかりませんでした。
良ければその方法を教えていただけますでしょうか。

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■33112 / inTopicNo.4)

　Re[3]: 相似な行列

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□投稿者/ サボテンベテラン(218回)-(2008/05/15(Thu) 14:13:31)

Jordan標準形で検索すると見つかりますよ。

この場合は相似変換によって、
[(-2,0,0),(0,3,1),(0,0,3)]と変換できますので、対角部分は
T=[(-2,0,0),(0,3,0),(0,0,3)], べき零部分はN=[(0,0,0),(0,0,1),(0,0,0)]
となります。
N^2=0でTとNは可換ですから、

A=P(T^n+nT^(n-1)N)P^(-1)となります。あとはPを求めてください。

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■33115 / inTopicNo.5)

　Re[4]: 相似な行列

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□投稿者/ スール一般人(6回)-(2008/05/15(Thu) 15:51:06)

Jordan標準形は習ったことがなかったのですが、解くことができました。
丁寧に回答していただき、ありがとうございました。

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