 | ■No33074に返信(ドラさんの記事)
> (1)
> 2次関数 f(x)=x^2 (x∈R)はRからRへの全射でないことを示せ．
> (2)
> 3次関数 f(x)=x^3 はRからRへの全射であることを示せ．
> (3)
> 次の不等式が成立することを示せ．
> 2^n < 3^n/n (n=1,2,...)
全射：ｆ: S→S’ において、ｆの像f(S)がS’と一致する。
(1)
f(x)=x^2 では 実数全体が負でない実数に写像されるので、全射ではない。
(実数全体が実数全体に写されない。R→Rではない)
(2)
f(x)=x^3 では実数全体が実数全体に、1:1で写像されるので全射である。
(3)
帰納法で証明する。
n=1,2 のとき成り立つ。
n≧3 のとき
2^k＜3^k/k が成り立つとする。両辺に2をかけて
2^(k+1)＜(2*3^k)/k
ところが、3^(k+1)/(k+1)-(2*3^k)/k
= {3k*3^k-2(k+1)3^k}/{k(k+1)}
={3^k(k-2)}/{k(k+1)}＞0
∴ 2^(k+1)＜3^(k+1)/(k+1)
nが自然数のとき成り立つ。
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