 | 2008/05/12(Mon) 20:12:51 編集(投稿者)
問題の放物線の方程式は
(x-y)^2-2(x+y)+1=0 (A)
原点中心に45°の回転移動により(A)上の点(x,y)が点(X,Y)に移ったとすると
X=(1/√2)(x-y)
Y=(1/√2)(x+y)
∴(A)は
2X^2-2Y√2+1=0
∴Y=(1/√2)X^2+1/(2√2)
従って(A)は放物線
y=(1/√2)x^2+1/(2√2) (B)
を原点中心に-45°回転させたものということになります。そこでまず
(B)の直交する２接線の軌跡l
を求め、それを原点中心に-45°回転移動することを考えます。
(B)の直交する２接線の交点を点(s,t)とすると、(B)の接線の方程式は
y=a(x-s)+t
と置けます。
これを(B)に代入すると
2x^2-2xa√2+2(as-t)√2+1=0 (C)
(C)の解の判別式をDとすると
D/4=2a^2-2{2(as-t)√2+1}=0
これより
a^2-4sa+2t√2-1=0 (D)
ここで問題の２接線の傾きをb,cとすると
bc=-1 (E)
又b,cは(D)をaの二次方程式と見たときの解ですので解と係数の関係より
bc=t√2-1 (F)
更にこのときの(D)の解の判別式をDとすると
D/4=s^2-2(2t√2-1)>0 (G)
(E)(F)より
t=0
このとき(G)は
s^2+2>0
これは任意の実数sに対して成立しています。
∴lの方程式は直線y=0(つまりx軸)
これを原点中心で-45°回転させて求める軌跡は
直線y=-x
となります。
|