数学ナビゲーター掲示板 [One Topic All View / Re[2]: 極限 / Page: 0]

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■33022 / inTopicNo.1)

　極限

□投稿者/ ルカワ一般人(1回)-(2008/05/11(Sun) 12:29:10)

極限の問題なんですが、

面積１の円Cに内接する正三角形に更に内接する円の面積S3は？

同様に、Cに内接する正方形に内接する円の面積S4は？

一般に、Cに内接する正ｎ角形に内接する円の面積は、ｎを用いてSn=？

また、lim[ｎ→∞]ｎ^2（１-Sn）＝？

という問題です。

私は、最初からさっぱりわかりませんので、誰か教えてください。

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■33039 / inTopicNo.2)

　Re[1]: 極限

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□投稿者/ モノトーン・コンバージェンス軍団(125回)-(2008/05/11(Sun) 22:21:59)

一般化の場合がわかればいいので正n角形のときを書いておきます。

面積が1なので $2$C$ の半径 $2$r$ は $2$r^2\pi=1$ より $2$\displaystyle r=\frac{1}{\sqrt{\pi}}$ となります。

正n角形 $2$A_1A_2\cdots A_n$ はｎ個の二辺が $2$r$ である二等辺三角形に分割できます。
このうちの一つ三角形 $2$OA_1A_2$ （Oは円Cの半径）に注目すると、求める円の半径は $2$A_1A_2$ に対する高さです。Oから $2$A_1A_2$ に下ろした垂線は∠ $2$A_1OA_2=\frac{2\pi}{n}$ を二等分することに注意して
求める円の半径は
$2$r\cos {\frac{\pi}{n}}$ となります。

よって $2$S_n=\cos ^2{\frac{\pi}{n}}$

また、
$2$n^2(1-\cos ^2{{\pi}{n}})=n^2\sin ^2{\frac{\pi}{n}}=\pi^2\frac{\sin ^2{\frac{\pi}{n}}}{\frac{\pi^2}{n^2}}$

より
$2$\lim n^2(1-\cos ^2{{\pi}{n}})=\pi^2$

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■33123 / inTopicNo.3)

　Re[2]: 極限

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□投稿者/ ルカワ一般人(2回)-(2008/05/16(Fri) 19:14:53)

返信遅れてすみません。ありがとうございました。

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