 | 自分なりに解いてみたものの、合っている自信がないのでよろしければご教授下さい。
３次正方行列Aが異なる固有値α、β、γを持っているとする。
A^n=xA^2+yA+zE n≧3 (Eは単位行列)
となる実数x,y,zが存在するとし、A^nをn,α,β,γ,A,E を用いて表せ。
という問題です。
私の考え方は、
α^n=xα^2+yα+z
β^n=xβ^2+yβ+z
γ^n=xγ^2+yγ+z
が成り立つことから（本当に成り立つのか少し不安なのですが・・・）、
この連立方程式を解いて、
x=−(βα^n+αγ^n+γβ^n-βγ^n-γα^n-αβ^n)/(α-β)(β-γ)(γ-α)
同様にy,zについても解き、それらを
A^n=xA^2+yA+zE にそれぞれ代入して答えを得る、というものです。
上の連立方程式が成り立つのか分からないこと、x,y,zが煩雑になること、
というのが引っかかるのですが、考え方や答えは合っているのでしょうか？
どうかよろしくお願いいたします。
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