 | y=x^3-x
より
y'=3x^2-1
∴C上の点(t,t^3-t)における接線の方程式は
y=(3t^2-1)(x-t)+t^3-t
∴y=(3t^2-1)x-2t^3
これが点Q(a,b)を通るので
b=(3t^2-1)a-2t^3
整理して
2t^3-2at^2+a+b=0 (A)
ここで条件より点Qからの接線は二本ですので(A)の異なる実数解が二つ。
従って
f(t)=2t^3-2at^2+a+b
と置いて横軸にtを取ったy=f(t)のグラフが極小点、又は極大点で
t軸と接する必要があります。
このことから
(極小点のy座標)=0 (B)
又は
(極大点のy座標)=0 (C)
これらを解いて、a,bの関係式を求め、それを使って(A)を整理すると
(A)の実数解をa,bで表すことができます。
後はその実数解を使って、接線が直交することから
傾きについての方程式を立てて下さい。
但し、a>0であることに注意しましょう。
(最終的には(C)から導いた傾きについての方程式を満たすa,bは存在しないことが分かります。)
こちらの計算では
(a,b)=(1/√6,-1/√6)
となりました。
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