 | (p,q)が第二象限ということなので、
p < 0, q > 0
接線をy = ax+bとおきます。
雑に作図してみれば、a > 0, b > 0は分かります。
この接線は(p,q)を通るので、
q = ap+b・・・(1)
また(p,q)は円c1の円周上の点なので、
p^2+q^2 = 1
即ち
p^2+(ap+b)^2 = 1
(1+a^2)p^2+2abp+(b^2-1) = 0・・・(2)
(p,q)は接点なので、上記をpの2次方程式と見なした場合に重根を持つ必要があるので、
判別 = 0
= (2ab)^2-4(1+a^2)(b^2-1)
= 4aabb-4(bb+aabb-1-aa)
= 4(aa+1-bb)
よって
aa+1-bb = 0
bb = aa+1・・・(3)
接線y = ax+bと円c2の接点を(u,v)とすると、
v = au+b
また(u,v)は円c2の円周上の点なので、
(u-5)^2+v^2 = 16
即ち
(u-5)^2+(au+b)^2 = 16
(1+a^2)u^2+(-10+2ab)u+(25+b^2-16) = 0
(u,v)は接点なので、上記をuの2次方程式と見なした場合に重根を持つ必要があるので、
判別 = 0
= (2ab-10)^2-4(1+a^2)(9+b^2)
= (4aabb-40ab+100)-4(9+9aa+bb+aabb)
= 4(aabb-10ab+25-9-9aa-bb-aabb)
= 4(-10ab+16-9aa-bb)
よって
-10ab+16-9aa-bb = 0
(3)を使うと
-10ab+16-9aa-(aa+1)
= 15-10ab-10aa = 0
よって
15-10aa = 10ab
3/(2a)-a = b・・・(4)
(4)を(3)に代入して
{3/(2a)-a}^2 = aa+1
9/(4aa)-2*3/(2a)*a+aa = aa+1
9/(4aa)-3 = 1
9 = (1+3)*4aa
9/16 = aa
3/4 = a・・・a > 0より。
また
b = 3/(2a)-a
= 3/(2*3/4)-3/4
= 3/(3/2)-3/4
= 2-3/4
= 8/4-3/4
= 5/4
(2)にa = 3/4, b = 5/4を代入すると
(1+a^2)p^2+2abp+(b^2-1) = 0
= (1+(3/4)^2)p^2+2*3/4*5/4p+((5/4)^2-1)
= (25/16)p^2+(30/16)p+9/16
= ((5/4)p+3/4)^2
よって
p = -3/4/(5/4) = -3/5
(1)にa = 3/4, b = 5/4, p = -3/5を代入すると
q = ap+b
= 3/4*(-3/5)+5/4
= -9/20+25/20
= 16/20
= 4/5
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