数学ナビゲーター掲示板 [One Topic All View / Re[1]: 一次式の積で表せ / Page: 0]

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■32694 / inTopicNo.1)

　一次式の積で表せ

□投稿者/ りんご一般人(1回)-(2008/04/27(Sun) 00:11:40)

3x^2+10xy+Ky^2+10x-2y+3
上の式を2つの一次式の積として表せるようにKを求めよ。

解答には、まずxについて整理し、判別式D1=0･･･①
さらに①で、yについて整理し、判別式D2=0
と書いてありました。たしかにこの解法でKは出るのですが、なぜ判別式を使うのでしょうか。分かる方、ぜひ教えてください。お願いします。

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■32696 / inTopicNo.2)

　Re[1]: 一次式の積で表せ

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□投稿者/ X ファミリー(158回)-(2008/04/27(Sun) 08:11:30)

3x^2+10xy+Ky^2+10x-2y+3=0
をxの二次方程式と見たとき
3x^2+10(y+1)x+Ky^2-2x+3=0
∴これの解の判別式をD1とすると、
D1/4=25(y+1)^2-(Ky^2-2x+3) (A)
又、解の公式により
x={-5(y+1)±√D1}/3 (B)
(B)より
3x^2+10xy+Ky^2+10x-2y+3=3{x-{-5(y+1)+√D1}/3}{x-{-5(y+1)-√D1}/3}
と因数分解できますので、題意を満たす為には(B)の√が外れる必要があります。
よって(A)はyについての完全平方式にならなければなりませんので
D1/4=0 (C)
をyの二次方程式と見たとき、重解を持つ必要があります。
よって、(C)の解の判別式をD2とすると
D2=0
となります。

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■32699 / inTopicNo.3)

　Re[2]: 一次式の積で表せ

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□投稿者/ りんご一般人(2回)-(2008/04/27(Sun) 10:21:15)

D1=0になるのは理解できたんですが、なぜD2=0となるのかわかりません。
申し訳ありませんが、もう一度教えていただけないでしょうか。
お願いします。

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■32700 / inTopicNo.4)

　Re[3]: 一次式の積で表せ

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□投稿者/ miyup 大御所(442回)-(2008/04/27(Sun) 10:25:50)

■No32699に返信(りんごさんの記事)
> D1=0になるのは理解できたんですが、なぜD2=0となるのかわかりません。

D2＞0 や D2＜0 のときに方程式 D1＝0 がどう式変形されるか
検討してみればわかります。

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■32701 / inTopicNo.5)

　Re[3]: 一次式の積で表せ

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□投稿者/ りんご一般人(3回)-(2008/04/27(Sun) 10:26:56)

すいません、理解できました^^;
ありがとうございました！！

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■32704 / inTopicNo.6)

　Re[4]: 一次式の積で表せ

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□投稿者/ りんご一般人(4回)-(2008/04/27(Sun) 16:48:04)

すいません、もう一度考えてみたんですが、わからないところがありました。
１度わかったといったのにすいません。

なぜD1=0とおけるんでしょうか。
D1が完全平方にならなければいけないので、D2=0となるのはわかるんですが…。
申し訳ありませんが、もう一度教えてください。

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■32705 / inTopicNo.7)

　Re[5]: 一次式の積で表せ

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□投稿者/ miyup 大御所(443回)-(2008/04/27(Sun) 17:01:58)

■No32704に返信(りんごさんの記事)
> なぜD1=0とおけるんでしょうか。

おけるのではありません。
判別式は２次方程式の解について言及するものです。
すなわち
D1＝0 という２次方程式の解の判別をするということです。

ありがちな間違いですが
　×　x^2+2kx-3 の判別式
　○　x^2+2kx-3＝0 の判別式

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■32706 / inTopicNo.8)

　Re[1]: 一次式の積で表せ

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□投稿者/ Si 一般人(1回)-(2008/04/27(Sun) 17:58:18)

　　　　　　参考まで
f = 3*x^2 + 10*x*y + K*y^2 + 10*x - 2*y + 3;

f = 0
D[f, x] = 0
D[f, y] = 0
から x,yを消去し；K = -8

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■32707 / inTopicNo.9)

　Re[5]: 一次式の積で表せ

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□投稿者/ dd 一般人(1回)-(2008/04/27(Sun) 19:24:42)

> なぜD1=0とおけるんでしょうか。
D1が判別式だと思って解答を読んでいるから混乱しているだけで、
> D1が完全平方にならなければいけないので、D2=0となるのはわかるんですが…。
という内容に関してはD1はただの2次式と思って読むほうが意味が通るはずです。

つまり、ax^2+bx+c=a(x-α)(x-β) <==> ax^2+bx+c=0がx=α,β　という「多項式の因数分解」と「方程式の解」の関係を解答では元の式とD1とに計2回使っているということになります。特にこの関係を後半のD1へ適用する時には「D1が完全平方式 <==> D1=0 が重解を持つ (<==> D2=0)」という形で適用しています。

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