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■32679 / inTopicNo.1)

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□投稿者/ もん太一般人(1回)-(2008/04/24(Thu) 21:52:08)

先生が、「√[3]ｘとx^1/3は厳密にいうと、違うものだ」といっていたのですが、
理由を聞きそびれてしまいました。

どういうことだと思いますか？知っていたら教えてください。

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■32680 / inTopicNo.2)

　Re[1]: ＝？

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□投稿者/ miyup 大御所(441回)-(2008/04/25(Fri) 00:04:42)

■No32679に返信(もん太さんの記事)
> 先生が、「√[3]ｘとx^1/3は厳密にいうと、違うものだ」といっていたのですが、
> 理由を聞きそびれてしまいました。

どうちがうのかお聞きしたいものです。

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■32681 / inTopicNo.3)

　Re[1]: ＝？

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□投稿者/ hari 一般人(5回)-(2008/04/25(Fri) 00:24:28)

先生に聞きましょう。確実ですから。

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■32682 / inTopicNo.4)

　Re[1]: ＝？

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□投稿者/ b 一般人(1回)-(2008/04/25(Fri) 00:52:50)

■No32679に返信(もん太さんの記事)
> 先生が、「√[3]ｘとx^1/3は厳密にいうと、違うものだ」といっていたのですが、
> 理由を聞きそびれてしまいました。
>
> どういうことだと思いますか？知っていたら教えてください。

$2$x^{1}{}^{/}{}^{3}$ という「記号」は, 指数法則 $2$(x^a)^b = (x^b)^a = x^{ab}$ が成り立つようにべき指数 $2$a$ や $2$b$ を整数から有理数へ拡張するとき, 任意の有理数 $2$s$ に対して「 $2$(x^{1}{}^{/}{}^{3})^s = x^{s}{}^/{}^3$ を満たす何者か」を示唆するもの. 一方の $2$\sqrt[3]{x}$ は $2$x$ に対して $2$y^3 = x$ となる $2$y$ を示唆している記号. この場合, $2$s=3$ としてやると $2$x^{1}{}^{/}{}^{3}$ は少なくとも $2$(x^{1}{}^{/}{}^{3})^3 = x$ を満たす必要があるということが言えるので, それ以外の $2$s$ でも「話がうまく行く」ことを要請している $2$x^{1}{}^{/}{}^{3}$ という「記号」を使おうとする場合のほうが「要求が強い」ということで, そういう意味では「厳密には違う」のかもしれない（実数の範疇で話をしている前提のもとであれば, 実際にはこれらの記号によって指し示される実数は同じものになるので, 違うと言ってもニュアンス程度の違いにしかならないが）.

3乗根でない一般の冪根の場合や, 複素数の冪根, あるいはもっと別のシチュエーションではどうなるのか, とかいろいろ考えるとニュアンス以上の違いを見つけるかもしれないが, 今の段階ではただの言葉遊びになってしまわないとも限らないので, むしろあまり深入りせずに「ふーん」と言って適当に流しておくほうがいいように思われる.

なお、こういう「記号」を導入しようとするとき, その記号によって指し示そうとする概念をきちんと満足する「何者か」が実際に存在するかしないか・存在する場合唯一つ定まるか, というのは記号の形式的な導入とは異なる問題であるということは心のどこかに留めておくべきかと思う. 実際, 一意的に特定の概念を指し示すことができないのなら, わざわざそのような記号を用意しても役に立たないなんてことになるわけで, 定義の妥当性 (well-definedness) はどんな定義をするときも重要. まあ, 学校数学をやる分には余計なことかもしれないが.

# mimeTeX のデフォルト動作ではないとは思うが, 添字部分にスラッシュの形式で分数を書き込んだら勝手にまともな組み方ではありえない見苦しいスタイルに変換される, というのは勘弁してくれ……. 回避するためにかなり汚いソースを書くハメになったじゃないか.
# 微妙な NG ワードには笑ったが（いや気持ちはわかる, 確かに質問者が使ったらアレだなと思う語だ→「谷欠」）.

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■32686 / inTopicNo.5)

　Re[1]: ＝？

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□投稿者/ Ｎ付き人(55回)-(2008/04/25(Fri) 08:40:33)

勝手な想像ですが、√[3]ｘは無理数でx^1/3は指数といった違いかもしれないですね。
あくまで想像で、正しいかどうかは分かりませんが。

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■32688 / inTopicNo.6)

　Re[1]: ＝？

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□投稿者/ 七一般人(48回)-(2008/04/25(Fri) 10:27:16)

「√[3](－27)＝－3 と(－27)^1/3＝？
ではないですか？

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■32689 / inTopicNo.7)

　Re[2]: ＝？

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□投稿者/ 管理人一般人(2回)-(2008/04/25(Fri) 21:29:40)

■No32682に返信(bさんの記事)
> # mimeTeX のデフォルト動作ではないとは思うが, 添字部分にスラッシュの形式で分数を書き込んだら勝手にまともな組み方ではありえない見苦しいスタイルに変換される, というのは勘弁してくれ……. 回避するためにかなり汚いソースを書くハメになったじゃないか.

ご指摘のとおり少しいじっておりました。検証が足らなかったと反省しております。異常を生じさせていた部分は動作させないようにしました。次回からは大丈夫です。今後ともよろしくお願いいたします。
x^{1/3} で　 $2$x^{1/3}$ 　となります。

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■32690 / inTopicNo.8)

　Re[1]: ＝？

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□投稿者/ 0 一般人(1回)-(2008/04/25(Fri) 21:53:44)

2008/04/25(Fri) 21:56:44 編集(投稿者)

例えば $2$1/3 = 2/6 = 3/9 =\cdots$ なので $2$x^{1/3}$ が well-defined であるということは $2$x^{1/3} = x^{2/6} = x^{3/9} = \cdots$ が少なくとも成り立つ必要がある. まあ別に成り立たないでもいいじゃないかとかそういうのはセンスの問題として片付けてしまってもいいものなのかもしれないが, それでも 1/3 というのが数字（表記）と数（概念）とダブって認識されていることに気を付けると, もし上記が成り立たないのならば, それは 1/3 という数にではなく (1, 3) という順序対あるいは "1" "/" "3" という記号列に対して定義されているということであって, 有理数冪（累乗の指数として有理数をとることができるように指数を拡張する）というこ概念とはかけ離れてしまう. 身も蓋も無い言い方をすれば, 同じ数がいくつも別の表示にできるとき, 同じ数に対して表示ごとに指し示す対象が違うんじゃ使いにくくて全然便利じゃない.

それで, もし安直に $2$x^{a/b}$ とは「（それが存在するならば） $2$x^a$ の実 $2$b$ 乗根のこと」として決めたとすると, $2$x=-1$ のときなどは $2$(-1)^{1/3}$ は $2$-1$ の実 $2$3$ 乗根なので $2$-1$ だが $2$(-1)^{2/6}$ は $2$(-1)^2 = 1$ の実 $2$6$ 乗根で $2$1$ を意味することになってしまって well-defined になってくれない. 「（それが存在するならば） $2$x$ の実 $2$b$ 乗根の $2$a$ 乗のこと」などとやっても似たようなことが出てくる.　とかなんとかというようなことがあって, 安易に $2$x^{1}^{/}^{3}$ と書いたりはできないというようなことがでてくる.

こういうふうに書いてきちんとその概念を扱うためには, 扱える枠組み（どういった範囲の, 何に対して, どういう意味で使えば, どういった推論に対して, どういった内容・程度で上手く行くかなどといったこと）をきちんと認識・設定しておかなければならない. これはここでの話に限ったことではなくて, 割とありふれたことだと思う.

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