数学ナビゲーター掲示板 [One Topic All View / Re[4]: 極座標のラプラシアン / Page: 0]

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■32612 / inTopicNo.1)

　極座標のラプラシアン

□投稿者/ daigo 一般人(3回)-(2008/04/21(Mon) 19:04:47)

極座標でのラプラシアンを求めたく，いろいろ検索しているとやり方がかいてあるページがあったのですが，わからないことがあります．

http://chunjiao.astro.ncu.edu.tw/~daisuke/jp/res/astro/math/Laplacian/Laplacian.html

こちらのページの(11)式についてなのですが，(2)式をrで偏微分すると(11)式と違う式になると思うのですがどうでしょうか？

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■32616 / inTopicNo.2)

　Re[1]: 極座標のラプラシアン

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□投稿者/ だるまにおん一般人(9回)-(2008/04/21(Mon) 21:07:46)

(11)式は(5)式をxで偏微分したものですから、違うのは当然だと思います。

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■32653 / inTopicNo.3)

　Re[2]: 極座標のラプラシアン

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□投稿者/ daigo 一般人(4回)-(2008/04/22(Tue) 19:29:04)

■No32616に返信(だるまにおんさんの記事)
>(11)式は(5)式をxで偏微分したものですから、違うのは当然だと思います。

(2)式をrで偏微分すると
$2$\frac{\partial x}{\partial r}=\sin {\theta}\cos {\phi}$
ですよね？これだと(11)式と矛盾しませんか？

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■32661 / inTopicNo.4)

　Re[3]: 極座標のラプラシアン

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□投稿者/ サボテンファミリー(179回)-(2008/04/23(Wed) 11:18:13)

どのあたりが具体的に矛盾しているとお考えなんでしょう?

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■32665 / inTopicNo.5)

　Re[4]: 極座標のラプラシアン

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□投稿者/ メタモ一般人(1回)-(2008/04/23(Wed) 14:32:34)

流れと関係ないけどベクトル解析の本で探してみてくださいな。

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■32666 / inTopicNo.6)

　Re[1]: 極座標のラプラシアン

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□投稿者/ grin 一般人(9回)-(2008/04/23(Wed) 14:44:05)

矛盾とお考えになる場所は分かりませんが、
よくある間違いとしては、
∂x/∂r＝1/(∂r/∂x) という等式は一般には成り立ちません。

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■32685 / inTopicNo.7)

　Re[2]: 極座標のラプラシアン

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□投稿者/ daigo 一般人(5回)-(2008/04/25(Fri) 02:51:04)

■No32666に返信(grinさんの記事)
> 矛盾とお考えになる場所は分かりませんが、
> よくある間違いとしては、
> ∂x/∂r＝1/(∂r/∂x) という等式は一般には成り立ちません。

(2)から $2$\frac{\partial x}{\partial r}=\sin {\theta}\cos {\phi}$ ですが，
(11)では $2$\frac{\partial r}{\partial x}=\sin {\theta}\cos {\phi}$ ですよね．
矛盾という言葉は正しくないですね．
$2$\frac{\partial x}{\partial r}=\frac{\partial r}{\partial x}$
rをxで偏微分したのと，xをrで偏微分したのは同じになるのが変な気がしたんです．こうなることもあるということですか？

あと，
> ∂x/∂r＝1/(∂r/∂x) という等式は一般には成り立ちません。
はどういうことでしょうか？逆関数の微分法じゃないんですか？

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■32687 / inTopicNo.8)

　Re[3]: 極座標のラプラシアン

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□投稿者/ grin 一般人(10回)-(2008/04/25(Fri) 08:47:29)

∂x/∂r＝∂r/∂x となることはこの例のようにあり得ます。

逆関数の微分の定義というのは、
dy/dx＝1/(dx/dy) というように、常微分のときにのみ成り立つもので、
特定の変数以外を固定する偏微分のときには成り立ちません。

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■32691 / inTopicNo.9)

　Re[3]: 極座標のラプラシアン

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□投稿者/ 0 一般人(2回)-(2008/04/25(Fri) 22:27:13)

> はどういうことでしょうか？逆関数の微分法じゃないんですか？

一変数（常微分）の場合に逆函数の微分公式 $2$\frac{dy}{dx}\cdot\frac{dx}{dy}=1$ の根拠となる合成函数の微分（連鎖律; chain-rule） $2$\frac{dy(x(t))}{dt} = \frac{dy(x)}{dx}\cdot\frac{dx(t)}{dt}$ は, 多変数の場合に
$2$\frac{dy(x_1(t),x_2(t),\ldots,x_n(t))}{dt} = \frac{\partial y(x_1,x_2,\ldots,x_n)}{\partial x_1}\cdot\frac{dx_1(t)}{dt} + \frac{\partial y(x_1,x_2,\ldots,x_n)}{\partial x_2}\cdot\frac{dx_2(t))}{dt} + \cdots + \frac{\partial y(x_1,x_2,\ldots,x_n)}{\partial x_n}\cdot\frac{dx_n(t)}{dt}$
といったような形になり,
> ∂x/∂r＝1/(∂r/∂x) という等式
が一般になりたつとはまったく期待できない.

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■32721 / inTopicNo.10)

　Re[4]: 極座標のラプラシアン

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□投稿者/ daigo 一般人(6回)-(2008/04/28(Mon) 13:34:25)

わかりました，ありがとうございました！

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