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■32610 / inTopicNo.1) 　全射、単射
  ▼■
□投稿者/ やまとも 一般人(1回)-(2008/04/21(Mon) 17:52:41)
    写像f:X→Yとg:Y→Xが与えられている。今、合成
    fg=f･g:X→X
    が恒等写像のとき、fは単射でgは全射であることを示せ。

    全射と単射の定義はわかっているのですが、まだ慣れていなくて、どのように示せばよいのかわかりません。大学数学ですが、どなたかおつきあい下さい、お願いします。

    (携帯)
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■32618 / inTopicNo.2) 　Re[1]: 全射、単射
□投稿者/ だるまにおん 一般人(11回)-(2008/04/21(Mon) 21:19:23)
    問題は正しいでしょうか？
    f・gは(通常は)YからYへの写像ですが...
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■32629 / inTopicNo.3) 　すみません
□投稿者/ やまとも 一般人(2回)-(2008/04/21(Mon) 23:25:02)
    2008/04/21(Mon) 23:41:00 編集(投稿者)

    問題に但し書きがあります。

    fが単射とは　x,x`∈X,x≠x`→f(x)≠f(x`)
    fが全射とは　∀y∈Y,∃x∈X,s.t.f(x)=y のことを言う。


    問題が不十分でした。すみません。
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■32630 / inTopicNo.4) 　Re[3]: すみません
□投稿者/ だるまにおん 一般人(17回)-(2008/04/21(Mon) 23:52:19)
    f･gはなんですか？fとgの合成ですか？

    fとgの合成とすれば、f・gはf(g(x))のことですから、
    これはYからYへの写像であり、XからXへの写像ではありません。
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■32632 / inTopicNo.5) 　Re[4]: すみません
□投稿者/ だるまにおん 一般人(18回)-(2008/04/22(Tue) 00:02:17)
    仮に
    fg=f・g:X→X
    ではなくて
    fg=f・g:Y→Y
    だとすると反例があります。

    あるいはf・g=g(f(x))のことなのでしょうか？
    f・gの定義をはっきりさせて下さい。
    (もしくは問題文をもう一度確認下さい)
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■32633 / inTopicNo.6) 　Re[4]: すみません
□投稿者/ やまとも 一般人(3回)-(2008/04/22(Tue) 00:03:22)
    すみません。問題を訂正します。


    合成　gf=g・f:X→X の間違いです。

    度々すみません。

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■32636 / inTopicNo.7) 　Re[5]: すみません
□投稿者/ だるまにおん 一般人(20回)-(2008/04/22(Tue) 00:33:21)
    それなら解けます。

    f(x)=f(x')(x,x'∈X)とするとg(f(x))=g(f(x'))だが(gf)は恒等写像なのでx=x'。よってfは単射。

    ∀x∈Xに対しf(x)∈Yをとると(gf)は恒等写像なのでg(f(x))=x。よってgは全射。
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■32637 / inTopicNo.8) 　Re[5]: すみません
□投稿者/ やまとも 一般人(4回)-(2008/04/22(Tue) 00:46:22)
    ほんとうにありがとうございます。助かりました。

    私の不注意で多大な迷惑をおかけしました、今後は気をつけます、
    すみませんでした。
解決済み!
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