 | 一問目）
y軸に対称ですので
b=0 (A)
一方f(x)=ax^2+bx+cを
∫[-1→１]f(ｘ)ｄｘ＝２
∫[1→２]ｆ(ｘ)ｄｘ＝３
に代入して積分を計算すると、a,b,cについての方程式が二つできますので
(A)をそれらと連立して解きます。
二問目)
{Ｆ(ｘ)＋Ｇ(ｘ)}´＝１８ｘ (A)
{Ｆ(ｘ)-Ｇ(ｘ)}´＝２(ｘ−１) (B)
Ｆ(０)＝７ (C)
Ｇ(２)＝８ (D)
とします。
{(A)+(B)}/2より
F'(x)=10x-1 (E)
{(A)+(B)}/2より
G'(x)=8x+1 (F)
(E)(F)をそれぞれ積分し、(C)(D)を代入して任意定数の値を求めます。
三問目)
ｆ(ｘ)−∫[0→１](ｘ−ｔ)ｆ(ｔ)ｄｔ＝ｘ−１ (A)
とします
(A)より
f(x)-x∫[0→1]f(t)dt+∫[0→1]tf(t)dt=x-1
∴f(x)=x{1+∫[0→1]f(t)dt}-1-∫[0→1]tf(t)dt (A)'
(A)'の右辺の積分の式は全て定数になりますので
f(x)=ax+b (B)
と置くことができます。
後は
(B)を(A)'に代入して積分を計算し、両辺の係数を比較して
a,bについての連立方程式を導きます。
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