数学ナビゲーター掲示板 [One Topic All View / Re[1]: 漸化式 / Page: 0]

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■32453 / inTopicNo.1)

　漸化式

□投稿者/ じょん一般人(1回)-(2008/04/11(Fri) 07:51:17)

どなたか、よろしくお願いします・・・
次の漸化式であらわされる数列が有界で単調増加であることを示し、その極限を求めよ。
ａ１＝１，ａｎ＋１＝√（ａｎ＋１）
見づらいですが、２式目の左辺は数列ａｎの（ｎ＋１）項目、右辺はｎ項目ということです。

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■32460 / inTopicNo.2)

　Re[1]: 漸化式

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□投稿者/ モノトーン・コンバージェンス軍団(121回)-(2008/04/11(Fri) 16:02:51)

>次の漸化式であらわされる数列が有界で単調増加であることを示し、その極限を求めよ。
単調性は $2$a_n >0$ より
$2$\displaystyle \frac{a_{n+1}}{a_n}=\sqrt{1+\frac{1}{a_n}}>1$ となることからわかります。

有界性は
$2$a_{n+1}=\sqrt{a_n+1}$ で $2$a_n$ が収束するとしたら $2$\alpha=\sqrt{\alpha+1}$ を解くことにより $2$\displaystyle \lim a_n=\frac{1+\sqrt{5}}{2}$ と予想できます。

つまり $2$a_n<\frac{1+\sqrt{5}}{2}$ となりそうですが、有界でことを示せば良いので、条件を少しゆるくして $2$a_n<2$ を示せばいいでしょう。これは帰納法で簡単に示すことができます。

有界という用語が出てるところからみると大学の範囲ですかね？
「上に有界な単調増加列は収束する」というのは高校の範囲ではないと思う（たぶん）のでご注意ください。

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■32462 / inTopicNo.3)

　Re[2]: 漸化式

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□投稿者/ 豆一般人(31回)-(2008/04/11(Fri) 16:57:21)

a[n+1]/a[n]の式はおかしくないですか？

単調性の評価も帰納法でいけると思います。
a[2]=√2＞a[1]より、
a[n+1]>a[n]と仮定したとき、
a[n+2]=√(a[n+1]+1)＞√(a[n]+1)=a[n+1]

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■32465 / inTopicNo.4)

　Re[1]: 漸化式

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□投稿者/ じょん一般人(2回)-(2008/04/11(Fri) 20:55:09)

ご返信有難うございます！
有界で、単調なら収束するのは知っているのですが、どうやって有界であるかを示せばいいかわからなかったので、参考になりました。
もうひとつ質問なのですが、αでおいて解くと極限の値がわかりますが、これは何かしらの証明などをしなければいけないのでしょうか？

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■32467 / inTopicNo.5)

　Re[2]: 漸化式

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□投稿者/ モノトーン・コンバージェンス軍団(123回)-(2008/04/11(Fri) 23:06:52)

2008/04/11(Fri) 23:31:25 編集(投稿者)

豆さん
おっしゃるとおり、計算間違いしてました。恥ずかしい限りです・・
ご指摘ありがとうございます。

じょんさん
>もうひとつ質問なのですが、αでおいて解くと極限の値がわかりますが、これは
>何かしらの証明などをしなければいけないのでしょうか？

使っている事実は√の連続性と $2$\lim a_n=\lim a_{n+1}$ ですが、どちらも証明なしに使ってもよいかと思います。

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■32561 / inTopicNo.6)

　Re[1]: 漸化式

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□投稿者/ ricky 一般人(1回)-(2008/04/19(Sat) 02:07:25)

はじめまして。rickyです。この問題は、本年度の長崎大学の出題にありました。有限確定値に収束する仮定の下で方程式α＝r[α＋１]の解を、このαがミエミエの極限値ですから、後づけの解答を考えているのですが、ちょっと図々しいかな！！

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