数学ナビゲーター掲示板 [One Topic All View / Re[5]: 0.1234567891011・・・が無理数 / Page: 0]

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■32438 / inTopicNo.1)

　0.1234567891011・・・が無理数

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□投稿者/ グランド一般人(1回)-(2008/04/10(Thu) 17:49:23)

x＝0.1234567891011 ・・・は無理数であるということを証明せよ。

上記の問題がまったくわかりません。
だれか解答&解説お願いします。

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■32439 / inTopicNo.2)

　Re[1]: 0.1234567891011・・・が無理数

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□投稿者/ らすかる大御所(254回)-(2008/04/10(Thu) 18:20:32)
http://www10.plala.or.jp/rascalhp

もし有理数である場合、循環しなければならない。
しかし、小数点以下m桁目からn桁ごとに循環したと仮定しても、
それ以降に「n桁の1の連続」と「n桁の2の連続」が無数に出現するので矛盾する。
よって循環しないので無理数。

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■32444 / inTopicNo.3)

　Re[1]: 0.1234567891011・・・が無理数

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□投稿者/ モノトーン・コンバージェンス軍団(119回)-(2008/04/10(Thu) 22:20:48)

■No32438に返信(グランドさんの記事)
> x＝0.1234567891011 ・・・は無理数であるということを証明せよ。

横から失礼いたします。間違っていたら申し訳ないのですが

$2$\displaystyle x=\sum_{n=0}^{\infty}$\sum_{k=1}^9\frac{k}{10^{12n+k}}+\frac{1}{10^{12n+10}}+\frac{1}{10^{12n+12}}$$

としたら、 $2$x$ は有理数でかつ $2$x=0.1234567891011\cdots$ になりましたが、 $2$x=0.1234567891011\cdots$ の・・・所は具体的にわかるのでしょうか？
それとも小数点12以下はどのようなものでもいいのでしょうか？

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■32446 / inTopicNo.4)

　Re[2]: 0.1234567891011・・・が無理数

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□投稿者/ グランド一般人(2回)-(2008/04/10(Thu) 22:41:16)

　早々の返信＆解説ありがとうございます。
問題文にはそれしか書いてありませんでした。が、自分は勝手に0.123456789101112131415・・・と解釈しました。

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■32448 / inTopicNo.5)

　Re[3]: 0.1234567891011・・・が無理数

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□投稿者/ らすかる大御所(256回)-(2008/04/10(Thu) 22:49:11)
http://www10.plala.or.jp/rascalhp

私も
0.1234567891011121314151617181920…
だと思いました。

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■32449 / inTopicNo.6)

　Re[4]: 0.1234567891011・・・が無理数

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□投稿者/ グランド一般人(4回)-(2008/04/10(Thu) 22:54:10)

難しく考えていたのでしょうか・・・
らすかるさんの解説のようになるのですかね～？

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■32450 / inTopicNo.7)

　Re[5]: 0.1234567891011・・・が無理数

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□投稿者/ モノトーン・コンバージェンス軍団(120回)-(2008/04/10(Thu) 23:22:35)

あ、なるほど！
１０，１１、１２・・・までつながっていることに今気づきました(^ ^;

おそらく、問題の意図と解答はグランドさんとらすかるさんのほうが正しいですね。有理数になったとして、ループする部分の長さ(数字の数)を $2$n$ とすれば、それ以降に $2$n+1$ 桁の数字でそのループにそぐわないものが出るので矛盾しますね。

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