数学ナビゲーター掲示板 [One Topic All View / Re[2]: ∀r∈Q∩[a,b]に対してf(r)=0を満たす非負リーマン積分関数なら∫[a,b]f(x)dx=0 / Page: 0]

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■32376 / inTopicNo.1)

　∀r∈Q∩[a,b]に対してf(r)=0を満たす非負リーマン積分関数なら∫[a,b]f(x)dx=0

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□投稿者/ yuuka 一般人(10回)-(2008/04/05(Sat) 10:07:22)

[問]fを∀r∈Q∩[a,b](a<b)に対してf(r)=0を満たす非負リーマン積分関数とする。
∫[a,b]f(x)dx=0となる事を示せ。

という証明がどうしてもわかりません。どのようして示せますでしょうか?

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■32381 / inTopicNo.2)

　Re[1]: ∀r∈Q∩[a,b]に対してf(r)=0を満たす非負リーマン積分関数なら∫[a,b]f(x)dx=0

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□投稿者/ のぼりん一般人(5回)-(2008/04/06(Sun) 09:35:48)

こんにちは。
積分はリーマン積分の意味、リーマン積分関数とは、リーマン積分可能な関数のことと解して回答します。

区間  の任意の分割  を取ります。
 に属する任意の小区間  から、有理数の代表点  を適当に取ります。
 と  による  のリーマン和を  とします。
題意より  だから、 です。
 はリーマン積分可能だから、代表点  の取り方によらずリーマン和が収束します。
よって、

です。