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■32355 / inTopicNo.1) 　導関数と3次関数で分からない問題があるので教えてください。
  ▼■
□投稿者/ Nancy 一般人(1回)-(2008/04/02(Wed) 20:28:31)
    　関数f(x)はすべての実数について
    　 f(x＋y)=f(x)＋f(y)＋xy
    　を満たすものとする。
    　(1) f(0)を求めよ。　(2) f´(0)=−2のとき、f´(a)を求めよ。
    　(3) f(x)を求めよ。

    　3次関数f(x)=x³＋ax²＋bx＋cはx=1およびx=−1で極値をとり、さらに極大値が極小値の3倍となる。このときのa,b,cを求めよ。
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■32356 / inTopicNo.2) 　Re[1]: 導関数と3次関数で分からない問題があるので教えてください。
□投稿者/ X 軍団(138回)-(2008/04/02(Wed) 22:08:54)
    2008/04/02(Wed) 23:03:27 編集(投稿者)

    一問目)
    f(x+y)=f(x)+f(y)+xy (A)
    とします。

    (1)
    (A)にx=y=0を代入して
    f(0)=0

    (2)
    (A)より
    f(x+y)-f(x)=f(y)+xy
    {f(x+y)-f(x)}/y=f(y)/y+x
    ∴lim[y→0]{f(x+y)-f(x)}/y=lim[y→0]{f(y)/y+x} (B)
    ここで
    ((B)の左辺)=…
    一方(1)の結果から
    lim[y→0]{f(y)/y}=lim[y→0]{{f(y)-f(0)}/y}…
    ですので(B)は…。

    こちらの計算では
    f'(a)=a-2
    となりました。

    (3)
    (2)の結果を積分して(1)の結果を使って任意定数の値を求めましょう。
    こちらの計算では
    f(x)=(1/2)x^2-2x
    となりました。


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■32357 / inTopicNo.3) 　Re[1]: 導関数と3次関数で分からない問題があるので教えてください。
□投稿者/ X 軍団(139回)-(2008/04/02(Wed) 22:14:37)
    二問目)
    方針だけ。
    条件から二次方程式
    f'(x)=0
    の解がx=1,-1ですので、解と係数の関係からa,bの値が求められます。
    その結果から
    f(1)<f(-1)
    であることは証明できますので、f(x)はx=-1で極大、x=1で極小であることが
    分かります。従って
    f(-1)=3f(1)
    これよりcの値が求められます。
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■32358 / inTopicNo.4) 　Re[2]: 導関数と3次関数で分からない問題があるので教えてください。
□投稿者/ Nancy 一般人(2回)-(2008/04/02(Wed) 23:31:49)
    　分かりました。
    　ありがとうございました。
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