数学ナビゲーター掲示板 [One Topic All View / Re[1]: 極限 / Page: 0]

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■32256 / inTopicNo.1)

　極限

□投稿者/ tax 一般人(1回)-(2008/03/24(Mon) 02:14:18)

$2$xy$ 平面上に直線 $2$l:y=\frac{1}{2}x+1$ があり、 $2$l$ と $2$x$ 軸の交点を $2$A$ とする。
$2$x$ 軸上の点 $2$P_n(x_n,0)$ ( $2$n$ = $2$1,2,3$ ,…)を次のように定める。 $2$x_1=a(a>0)$ とする。 $2$P_n$ から $2$l$ に下ろした垂線の足を $2$Q_n$ 、線分 $2$P_nQ_n$ を $2$1:2$ に内分する点を $2$R_n$ として、 $2$R_n$ を通り $2$l$ に平行な直線と $2$x$ 軸との交点を $2$P_{n+1}$ とする。
(1) $2$AP_{n+1}:P_{n+1}P_n$ を最も簡単な整数比で表わせ。
(2) $2$x_{n+1}$ を $2$x_n$ を用いて表せ
(3) $2$x_n$ を求めよ
(4)三角形 $2$P_nR_nP_{n+1}$ の面積を $2$S_n$ とする。 $2$\sum\limits_{n = 1}^k {S_n }$ $2$=1$ となる $2$a$ の値を求めよ。(書くときの都合上∞の部分がkになってます。)

(4)だけができません。考え方とか答えを教えてくださいm(_ _)m

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■32257 / inTopicNo.2)

　Re[1]: 極限

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□投稿者/ モノトーン・コンバージェンス軍団(113回)-(2008/03/24(Mon) 12:47:19)

三角形 $2$P_nR_nP_{n+1}$ は直線 $2$l$ とx軸、ｙ軸で囲まれた三角形と相似ですので、辺比 $2$1:2:\sqrt{5}$ の直角三角形になります。

よって
$2$\displaystyle S_n=\frac{2}{\sqrt{5}}(x_n-x_{n+1})\times \frac{1}{\sqrt{5}}(x_n-x_{n+1})\times \frac{1}{2}=\frac{1}{5}(x_n-x_{n+1})^2=\frac{1}{5}(\frac{2}{3})^{2n-1}(\frac{a+2}{3})^2$

よって $2$\sum_{n=1}^{\infty}S_n$ が収束するときその収束値が１なので

$2$\frac{\frac{1}{5}(\frac{2}{3})(\frac{a+2}{3})^2}{1-\frac{4}{9}}=1$

でこれを解けば

$2$a=\frac{-4+5\sqrt{6}}{2}$
(計算結果は自分でご確認してください)

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