数学ナビゲーター掲示板 [One Topic All View / Re[6]: 法線の方程式 / Page: 0]

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■32235 / inTopicNo.1)

　法線の方程式

□投稿者/ digi 一般人(14回)-(2008/03/23(Sun) 02:20:30)

楕円面x^2/a^2+y^2/b^2+z^2/c^2=1の法線のうち、原点を通るものを求めたいのですが、よくわかりません．

f(x, y, z)=x^2/a^2+y^2/b^2+z^2/c^2-1としたとき、任意の点(α, β, γ)における法線は、
$2$\frac{a^2}{2\alpha}(x-\alpha)=\frac{b^2}{2\beta}(y-\beta)=\frac{c^2}{2\gamma}(z-\gamma)$
となったのですが、これからどうしたらいいか分かりません。

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■32236 / inTopicNo.2)

　Re[1]: 法線の方程式

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□投稿者/ らすかるベテラン(236回)-(2008/03/23(Sun) 03:13:54)
http://www10.plala.or.jp/rascalhp

2008/03/23(Sun) 03:17:40 編集(投稿者)

楕円 x^2/a^2+y^2/b^2=1（a≠b）の法線が原点を通るのは法線が軸方向の場合だけですから、
楕円面でも（a,b,cがすべて異なれば）軸方向だけではないでしょうか。

上の式がそれを物語っていますよね。
α,β,γのうち少なくとも2個が0以外の値の場合、例えばα≠0,β≠0とすると
x=y=0 として a^2=b^2 ですから、a=b でないと原点を通りません。

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■32238 / inTopicNo.3)

　Re[2]: 法線の方程式

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□投稿者/ digi 一般人(15回)-(2008/03/23(Sun) 12:17:20)

すみません、質問の仕方が悪かったです．

実際の問題は、
楕円面x^2/a^2+y^2/b^2+z^2/c^2=1の接平面に原点からおろした垂線の足の軌跡をもとめよ．

解答では，
「接平面の方程式は
$2$\frac{\alpha}{a^2}x+\frac{\beta}{b^2}y+\frac{\gamma}{c^2}z=1$
原点を通ってこれに垂直な直線の方程式は、
$2$\frac{a^2}{\alpha}x=\frac{b^2}{\beta}y=\frac{c^2}{\gamma}z$ 」
となっていますが、どうやってそうなるのかが分かりません．

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■32239 / inTopicNo.4)

　Re[3]: 法線の方程式

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□投稿者/ らすかるベテラン(237回)-(2008/03/23(Sun) 14:04:58)
http://www10.plala.or.jp/rascalhp

digiさんの計算で点(α,β,γ)における法線が
　(a^2/α)(x-α)=(b^2/β)(y-β)=(c^2/γ)(z-γ)
と出ていますので、これを原点を通るように平行移動すれば
　(a^2/α)x=(b^2/β)y=(c^2/γ)z
となりますね。

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■32251 / inTopicNo.5)

　Re[4]: 法線の方程式

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□投稿者/ digi 一般人(16回)-(2008/03/23(Sun) 22:53:35)

■No32239に返信(らすかるさんの記事)
> digiさんの計算で点(α,β,γ)における法線が
> 　(a^2/α)(x-α)=(b^2/β)(y-β)=(c^2/γ)(z-γ)
> と出ていますので、これを原点を通るように平行移動すれば
> 　(a^2/α)x=(b^2/β)y=(c^2/γ)z
> となりますね。

ちょっといいですか？平行移動したらα,β,γは何を表しているのでしょうか？
平行移動したら点(α,β,γ)を通らなくなりますよね？

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■32255 / inTopicNo.6)

　Re[5]: 法線の方程式

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□投稿者/ らすかるベテラン(238回)-(2008/03/24(Mon) 01:33:26)
http://www10.plala.or.jp/rascalhp

直線の方向は、最初の(α,β,γ)の座標に依存しますので
(α,β,γ)を通らなくても当然式には残ります。
「点(α,β,γ)における楕円面の接平面に原点から下ろした垂線の方程式」
という意味ですから、α,β,γ,a,b,c,x,y,z の式になりますね。

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■32280 / inTopicNo.7)

　Re[6]: 法線の方程式

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□投稿者/ digi 一般人(17回)-(2008/03/25(Tue) 14:53:32)

なるほど。わかりました。ありがとうございました！

解決済み!

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