数学ナビゲーター掲示板 [One Topic All View / Re[4]: 数学的帰納法 / Page: 0]

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■32105 / inTopicNo.1)

　数学的帰納法

□投稿者/ 銀杏一般人(4回)-(2008/03/14(Fri) 14:58:49)

1≦ｆ（1）≦ｆ（2）≦、、、≦ｆ（ｎ）≦ｎのとき、
ｆ（ｋ）＝ｋ（1≦ｋ≦ｎ）が存在することを示せ。

（ⅰ）ｎ＝1のとき　1≦ｆ（1）≦1　だから、ｆ（1）＝1　よって、成り立つ。

この後（ｎ＝ｋのとき成り立つと仮定して以降）がわかりません。
お願いします。

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■32107 / inTopicNo.2)

　Re[1]: 数学的帰納法

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□投稿者/ モノトーン・コンバージェンス軍団(109回)-(2008/03/14(Fri) 16:48:43)

2008/03/14(Fri) 16:56:48 編集(投稿者)

>1≦ｆ（1）≦ｆ（2）≦、、、≦ｆ（ｎ）≦ｎのとき、
>ｆ（ｋ）＝ｋ（1≦ｋ≦ｎ）が存在することを示せ。

$2$f(x)$ の定義はなんなのでしょうか？
一般の関数には成り立ちません。

例
$2$f(x)=\frac{3}{2}$ で
$2$1\leq f(x)\leq 2$ だが $2$f(1)\neq1,f(2)\neq2$

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■32109 / inTopicNo.3)

　Re[2]: 数学的帰納法

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□投稿者/ 銀杏一般人(5回)-(2008/03/14(Fri) 18:03:55)

自然数ｎに対して、1からｎまでの全ての自然数の集合をNとする。
NからNへの写像ｆが次の条件
”i、ｊがNの要素でi≦jならば、つねにｆ（i）≦ｆ（ｊ）”を満たすとき、
ｆ（ｋ）＝ｋとなるNの要素ｋが存在することを示せ。

という問題です。

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■32111 / inTopicNo.4)

　Re[3]: 数学的帰納法

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□投稿者/ モノトーン・コンバージェンス軍団(111回)-(2008/03/14(Fri) 18:52:50)

2008/03/14(Fri) 18:54:45 編集(投稿者)

厳密な帰納法ではありませんが・・・

$2$\forall k\in N,f(k)\neq k$ と仮定すると

$2$f(1)\neq1$ であり $2$1<f(1)$ となる。

$2$f(1)\leq f(2)$ で、 $2$2\leq f(2)$ となるが、
仮定から $2$f(2)\neq 2$ より $2$2<f(2)$ となる。

これをN回行うと

$2$N<f(N)$ となるがこれは矛盾。

よって $2$\exist k\in N;f(k)=k$

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■32133 / inTopicNo.5)

　Re[4]: 数学的帰納法

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□投稿者/ 黄桃一般人(2回)-(2008/03/16(Sun) 09:37:23)

数学的帰納法ならこんな感じでしょう。
(ii)n=k の時まで正しいとする。
(a)f(k+1)=k+1 なら、k+1 が求めるもの。
(b)(a)でないとすれば、f(k+1)<k+1だから、f(k)≦f(k+1)≦kとなるので、
帰納法の仮定により、f(x)=x となる x が(1≦x≦kに）存在する。
以上より、n=k+1の時も成立するので、数学的帰納法で任意のnについて正しいことが証明できました。

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